WWW.KNIGA.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Онлайн материалы
 

Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |

«В.А. СУРОВЦЕВ Ф.П. РАМСЕЙ И ПРОГРАММА ЛОГИЦИЗМА Издательство Томского университета УДК 316.42:35 ББК 87.5 С 90 Суровцев В.А. С 90 Ф.П. Рамсей и программа ...»

-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

В.А. СУРОВЦЕВ

Ф.П. РАМСЕЙ

И ПРОГРАММА ЛОГИЦИЗМА

Издательство Томского университета

УДК 316.42:35

ББК 87.5

С 90

Суровцев В.А.

С 90 Ф.П. Рамсей и программа логицизма. Томск: Изд-во Том.

ун-та, 2012. – 258 с.

ISBN 978-5-7511-2099-3 Рассматривается программа логицизма в основаниях математики с точки зрения новаций, предложенных Ф.П. Рамсеем. Анализируется эволюция взглядов на философию математики самого Ф.П. Рамсея.

Для философов, логиков, специалистов в области оснований математики.

УДК 316.42:35 ББК 87.5 Работа выполнена при поддержке РГНФ (грант № 11-03-00039а), РФФИ (грант № 12-06-00078-а) и в рамках государственного задания Минобрнауки РФ на проведение научных исследований (тематический план НИР Томского государственного университета) № 6.4832.2011 В.А. Суровцев, 2012 ISBN 978-5-7511-2099-3

ВВЕДЕНИЕ

В предисловии к посмертно опубликованному сборнику работ

Ф.П. Рамсея «Основания математики и другие логические исследования» [78] Дж.Э. Мур писал:

Он мыслил необычайно ясно. Никто с такой лёгкостью, как он, не мог избежать смешений в мысли, которым подвержены даже лучшие философы.



Он мог уловить и проследить тончайшие различия. Более того, он обладал исключительной способностью выводить следствия из сложнейшего множества фактов. Он обладал способностью видеть то, что следует или может следовать из этих фактов, взятых вместе, когда другие вообще не видели никаких следствий. И вместе с тем, несмотря на его утончённость и изобретательность, которые часто вели многих других философов к отрицанию очевидных фактов, он производил впечатление человека, в самой совершенной степени обладающего здравым смыслом. Он, как казалось мне, обладал прекрасным чувством меры. Он видел, какие проблемы наиболее фундаментальны, и именно эти проблемы наиболее его интересовали, именно их он стремился решить. По этим причинам, вероятно, как и другие, я почти всегда чувствовал, в отношении любой темы, которую мы обсуждали, что он понимал её лучше, чем я.

И там, где (как часто случалось) он не мог меня убедить, я в общем осознавал, что, вероятно, ошибаюсь я, а он прав, и моё с ним несогласие соответствует недостатку интеллектуальных сил с моей стороны [72. P. VII].

Эта блистательная характеристика ведущего кембриджского философа первой половины прошлого века, одного из родоначальников современной аналитической философии относится к человеку, прожившему всего 26 лет. Фрэнк Пламптон Рамсей 4 Ф.П. Рамсей и программа логицизма (22 февраля 1903 – 19 января 1930) – выдающийся математик, экономист и философ 1.

В математике он известен, прежде всего, своей теоремой, которая, будучи сформулирована для частного случая проблемы разрешения, в конечном счёте, в 70-х годах прошлого века привела к появлению в рамках теории графов специфического раздела, называемого ныне «Теорией Рамсея». Что касается экономики, то любой современный учебник по математическим исследованиям в этой области отталкивается от результатов, полученных Ф.П. Рамсеем относительно экономического поведения и решений. Здесь мы не будем касаться этих достижений, оставляя их более компетентным в данных областях исследователям.





Нас интересуют, прежде всего, философские взгляды Рамсея. Отчасти это связано с тем, что, несмотря на их популярность, а имя Рамсея появляется во множестве исследований, посвящённых проблемам универсалий, соотношения суждений и фактов, причинности, вероятности, истины и убеждений, структуре научных теорий и многим другим, его взгляды ещё далеки от систематического исследования и изложения2. В России специалистам по философии имя Рамсея, несмотря на появившийся недавно сборник переводов его работ на русский язык [16], остаётся почти неизвестным.

Кроме того, мы будем анализировать не все философские идеи Рамсея, но по преимуществу те его взгляды, которые касаются оснований математики и математической логики. Связано это с несколькими причинами. Во-первых, исследования в области оснований математики и математической логики, по словам Б. Рассела, всегда проходят несколько философски. Эта область исследований, с одной стороны, следует математической строгости в разработке и использовании формализмов, что роднит её с наиболее абстрактными разделами собственно математики, но, с другой стороны, попытка прояснения фундаментальных математических понятий заЗдесь мы не останавливаемся на подробностях биографии Ф.П. Рамсея. Отсылаем к блестящему биографическому очерку Д.Х. Меллора [14] и соответствующему разделу монографии Н.-Э. Салин [84].

Единственным исключением здесь является монография Н.-Э. Салин [84]. Отчасти данное обстоятельство компенсируется тем, что собственно философским взглядам Ф.П. Рамсея посвящены несколько тематических выпусков ведущих в области аналитической философии журналов [52; 71; 88] и ряд коллективных монографий [47; 57; 74; 77], вышедших в основном по результатам конференций, проводившихся в связи со столетием со дня рождения Рамсея.

Введение ставляет обращаться к философскому пониманию того, на что ориентируется и что пытается сделать математик, когда использует понятия множества, числа, функции и т.д., поскольку их интерпретация во многом зависит от эпистемологических и онтологических предпочтений.

Поэтому философские взгляды в данной наиболее абстрактной области способствуют пониманию идей, касающихся более «приземлённых»

областей. Это относится и к Рамсею, поскольку многие его философские идеи зависят от того, как им интерпретируются и понимаются некоторые теории математической логики.

Во-вторых, первые опубликованные работы Рамсея касались именно оснований математики. Этими проблемами он интересовался на протяжении всей своей короткой жизни, и именно при их разработке можно проследить определённую эволюцию его философских взглядов. Изменение этих взглядов в большой степени зависит от изменения его интересов в области оснований математики, в частности, эволюция от логицизма в сторону умеренного интуиционизма.

В-третьих, в исследованиях по основаниям математики наиболее полно проявляется философский стиль Рамсея, впрочем, свойственный всей аналитической философии, где внимание к нюансам и их разработка ставятся во главу угла.

Именно внимание к нюансам при анализе некоторых проблем оснований математики, скажем, таких как проблема тождества, отличие объективного значения функции от субъективных возможностей выражающего её логика, экстенсиональный характер математики, понятие математической тавтологии, позволяет сохранить свой эвристический потенциал для современной философии математики и использовать при решении ряда проблем.

В-четвёртых, некоторые достижения Рамсея – например, классификация парадоксов на теоретико-множественные и семантические, элиминация аксиомы сводимости и т.п. – вошли в арсенал современных исследований по основаниям математики. Редкое руководство по математической логике обходится без их упоминания1. Однако следует учесть, что эти достижения Рамсея основаны на ряде философских предпосылок, в частности математическом реализме и экстенсиональной трактовке математики. Поэтому их некритическое принятие в области, которая находится на стыке математики и филосоОценивая вклад Рамсея в основания математики, Рассел писал: «Его работа по математической логике, как мне кажется, наиболее важная из того, что появилось со времен Логико-философского трактата Витгенштейна» [83; 482].

6 Ф.П. Рамсей и программа логицизма фии, может привести к неверной интерпретации результатов, казалось бы, полученных независимо.

В-пятых, первоначальные идеи Рамсея развивались в рамках программы логицизма, которая пыталась представить математику в качестве развитой логики. Эта программа не удовлетворяла многих исследователей из-за принимаемых в её рамках, но не сводимых к логике предпосылок. Рамсей попытался освободить эту программу от всего, что выходит за рамки логики. В этом его попытку можно считать крайне интересной для исследования кульминацией программы логицизма и, вместе с тем, некоторым завершающим её этапом. И наконец, не так давно были практически полностью опубликованы архивные материалы Рамсея [80; 81], в которых многие тексты посвящены философии математики. Эти тексты позволяют лучше понять, как складывались и эволюционировали его взгляды, что делает их предметом интересной историко-философской разработки.

В первом приближении, не обращаясь к деталям, позицию Рамсея, как она представлена в данной монографии, можно охарактеризовать следующим образом. Среди трёх направлений в основаниях математики, развиваемых в начале прошлого века, а именно, логицизма, интуиционизма и формализма, Ф.П. Рамсей поначалу выбирает первое. Он однозначно причисляет себя к сторонникам Г. Фреге, Б. Рассела и А.Н. Уайтхеда, считавших, что вся математика, т.е. её понятия и предложения, выводима из понятий и предложений логики. Выдвинутая им по ходу обоснования своей позиции критика интуиционизма и формализма имеет важное значение. Но он прекрасно осознаёт недостаточность решения, предложенного Уайтхедом и Расселом в Principia Mathematica, которая связана, прежде всего, с неопределённостью того, что считать предложениями логики. Некоторые из основоположений Б. Рассела и А.Н. Уайтхеда, принятые ими, чтобы избежать изначальной фрегеанской позиции, не свободной от противоречий, вызывают сомнение не только в своей логической природе (аксиома мультипликативности, аксиома бесконечности), поскольку они в отличие от чистой логики нечто утверждают о мире, но и в обоснованности вообще (аксиома сводимости). Именно эти сомнения зачастую вызывали неприятие позиции логицизма. Поэтому для реализации данной программы необходимо выяснить статус предложений логики, аналитичность которых всегда противопоставлялась предложениям, чья истинность или ложность зависит от структуры мира. Здесь Ф.П. Рамсей принимает точку зрения Л. Витгенштейна, который в «Логико-философском тракВведение тате» последовательно проводит мысль, что все предложения логики являются тавтологиями. Таким образом, чтобы обосновать точку зрения логицизма, необходимо обосновать, что вызывающие сомнение положения либо излишни, либо являются тавтологиями, если соответствующим способом модифицировать их понимание. Ф.П. Рамсей пытается реформировать логицизм, предлагая первую альтернативу для аксиомы сводимости, а вторую – для аксиом мультипликативности и бесконечности. Эту реформу Рамсей реализует в работе «Основания математики». Однако, несмотря на определённые достижения, Ф.П. Рамсей осознаёт их ограниченность, поскольку вторая альтернатива решалась лишь в тех формальных системах, которые связаны особыми условиями. Уже в следующей работе по основаниям математики «Математическая логика» Рамсей выказывает сомнения в логическом статусе аксиомы бесконечности и утверждает, что программа логицизма в полной мере не реализуема. В результате взгляды Рамсея эволюционирует в сторону умеренного интуиционизма и формализма. Это общие контуры, в рамках которых в монографии излагается материал.

Этот материал потребовал попутного рассмотрения взглядов Фреге, Рассела, Витгенштейна (особенно глава 1), без чего идеи Рамсея для неподготовленного читателя были бы просто непонятны. Глава 2 в основном посвящена рассмотрению аксиомы сводимости. Здесь особое внимание уделено модификации Рамсеем понятия предикативной функции у Рассела, рассмотрена предложенная Рамсеем новая теория типов и проанализированы реалистические предпосылки, на которых основаны эти изменения. В главах 3 и 4 особое внимание уделяется экстенсиональной трактовке математики и понятию математической тавтологии, что позволяет Рамсею переинтерпретировать ряд положений Уайтхеда и Рассела на основании водимого им понятия экстенсиональной функции. Отметим, что при интерпретации этих взглядов Рамсея в значительной степени привлекались архивные материалы, которые лучше помогают понять генезис его взглядов, особенно это касается концепции тождества, количества вещей в мире и трансцендентального смысла аксиомы бесконечности. В главе 5 на основании архивных материалов рассмотрена эволюция взглядов Рамсея в сторону умеренного интуиционизма Г. Вейля.

В своих исследованиях Ф.П. Рамсей в основном использует символику, принятую Б. Расселом и А.Н. Уайтхедом в Principia Mathematica, хотя иногда в его работах встречается обычная математическая запись и некоторые специфические обозначения. Нами, за некоФ.П. Рамсей и программа логицизма торым исключением, также используется эта символика. В первом издании работ Рамсея [78] его редактор Р. Брейтуэйт для удобства читателя привёл отдельные замечания относительно наиболее важных элементов этой символики.

Следуя Брейтуэйту, для удобства читателей мы здесь также приводим эти замечания:

p, q, r используются для пропозиций.

a, b, c используются для индивидов.

f, g, f, c, y используются для пропозициональных функций.

[Пропозициональные функции иногда записываются как f х, y( х, y, z ) и т.д., чтобы показать, сколько аргументов им соответствует.] fa [иногда записывается как f(a)], y(a, b, c) и т.д. являются пропозициями.

x, y, z используются для переменных в выражениях следующего типа:

(х). f(х), означающего Для всех х истинно f(х);

($х). f(х), означающего Существует х, для которого истинно f(х).

Логические константы:

~ означает не, означает или, означает влечёт [x означает влечёт для каждого х], означает эквивалентно [x означает эквивалентно для каждого х].

Другие выражения:

х (fх) означает классf-ок;

означает является членом класса;

означает включён в (отношение между классами);

Nc означает чьё-то кардинальное число;

(х)(fх) означает единственная вещь, выполняющая f;

Е!(х)(fх) означает Одна и только одна вещь выполняет f;

Точки,. :, :. и т.д. используются вместо скобок;

Вместо ~р иногда используется p ;

(а) означает класс, чьим единственным элементом является а;

m n (mod l) означает m и n при делении на l имеют один и тот же остаток;

p/h означает вероятность пропозиции p при данной пропозиции h.

1. ПРОГРАММА ЛОГИЦИЗМА,

ТЕОРИЯ ВИТГЕНШТЕЙНА

И ЗАДАЧА РАМСЕЯ

1.1. Интуиционизм, формализм, логицизм и специфика предложений математики Статья «Основания математики» (ОМ) (1925 г.) была первой крупной работой, опубликованной Рамсеем. В рассмотрении специфики математического знания Рамсей следует общему методу Фреге, Рассела и Уайтхеда, считая, что математика является частью логики.

В основаниях математики он относит себя к направлению логицизма в противоположность школам формалистской и интуиционистской.

В качестве основы своего исследования он рассматривает фундаментальный труд Рассела и Уайтхеда Principia Mathematica (PM), поскольку уверен, «что обнаружил, каким образом, используя работу м-ра Людвига Витгенштейна, её можно освободить от серьёзных возражений» [17.С. 16]. Однако прежде чем обратиться собственно к программе логицизма, рассмотрим резоны Рамсея, заставившие его отказаться от других программ обоснования математики.

В ОМ Рамсей отвергает интуиционизм Брауэра и Вейля и формализм Д. Гилберта в основном по двум причинам: во-первых, они не соответствуют действительному состоянию математики; вовторых, они не соответствуют практике применения математики.

Первое касается интуиционизма. Поскольку интуиционисты отказываются от некоторых плодотворных принципов классической логики, таких как закон исключённого третьего, и связанных с ним принципов доказательства, например доказательства от противного, многое из того, что принимается в современной математике, оказывается за бортом.

Как считает Рамсей, для этого нет достаточной причины, кроме предубеждений самих интуиционистов, которые претендуют на обоснованность области гораздо более узкой, чем современная математика. Причём эта область к тому же не вполне ясно определена.

Второе относится к формалистскому направлению. Гилберт и его последователи предпочитают концентрироваться на утверждениях математики, рассматривая математические понятия, из которых 10 Ф.П. Рамсей и программа логицизма они состоят, в качестве лишённых смысла значков на бумаге. В этом отношении математические утверждения рассматриваются как последовательности значков, с которыми по определённым правилам разыгрывается некоторая игра. Согласно этим правилам, из одних последовательностей значков выводятся другие последовательности значков. На эту точку зрения Рамсей выдвигает единственный, но убедительный контраргумент. Если, например, ‘2’ есть лишённый смысла значок на бумаге, то каким образом математические понятия могут применяться в повседневной жизни? Ведь в утверждении, что «До станции осталось 2 мили», 2 определённо не является лишённым смысла значком.

Эту аргументацию Рамсей развивает в статье «Математическая логика» (МЛ). Относительно интуиционизма Брауэра он утверждает, что тот отказывается от закона исключённого третьего ввиду невозможности его обосновать ни a priori, ни a posteriori. Действительно, у нас нет априорных оснований утверждать, что высказывание p является истинным или ложным, без того, чтобы утверждать, что либо p – истинно, либо р – ложно, но, установив одну из этих альтернатив, у нас уже нет необходимости утверждать истинность “р или нер”. Например, Брауэр отказался бы утверждать истинность высказывания «Дождь идёт или дождь не идёт» без того, чтобы выглянуть на улицу. Но как только мы установили истинность или ложность высказывания «Дождь идёт», ненужность предыдущего высказывания становится очевидной. То же самое касается относительно возможности доказательства. Например, относительно числа 22 мы не можем доказать ни его рациональность, ни его иррациональность, поm = 22, но мы скольку мы не можем привести такие m и n, чтобы n не можем доказать и то, что такие m и n не существуют. Для Брауэра это свидетельствует о бессмысленности утверждения «Число 22 либо рационально, либо иррационально». Но как считает Рамсей, проблема не решается указанием на то, что число 22 не является ни рациональным, ни иррациональным, поскольку это не даёт нам никакого знания об этом числе.

Относительно закона исключённого третьего Рамсей утверждает:

хотя очевидно, что затруднительно дать философское объяснение нашему знанию этого закона логики, я не могу убедить себя в том, что с достоверностью не знаю об истинности закона исключённого третьего [18. С. 91].

1. Программа логицизма, теория Витгенштейна и задача Рамсея Здесь, ссылаясь на Аристотеля, он приводит следующий аргумент: даже если считать, что наряду с истинными и ложными высказываниями есть ещё какие-то, скажем сомнительные, высказывания, то вполне можно задать вопрос о том, является ли данное высказывание сомнительным или же нет. Сомнения относительно истинности или ложности ответа на данный вопрос порождают следующий вопрос о сомнительности или несомненности данного ответа и т.д., до бесконечности. Подобная бесконечность свидетельствует в пользу того, что сомнения в обоснованности закона исключённого третьего столь же не обоснованы, как и сам этот закон. Таким образом, даже если в пользу закона исключённого третьего и нет достаточных априорных оснований, то их также нет и против него. Если же учесть, что «Брауэр неспособен оправдать многое из обычной математики» [18, С. 92], то проще принять закон исключённого третьего, нежели от него отказаться.

Сомнения, касающиеся формалистского направления Д. Гилберта, относятся в основном к пониманию того, с чем имеет дело реально работающий математик. С точки зрения формалистов, математика разыгрывает некоторую игру с символами, записанными на бумаге. При этом некоторые последовательности символов рассматриваются в качестве исходных утверждений, или аксиом, из которых, посредством фиксированных правил преобразования (иначе, правил вывода) выводятся новые последовательности символов. При этом правила преобразования рассматриваются как достаточные условия получения того, что заложено в исходных утверждениях. Таким образом, с точки зрения Рамсея, формалистское направление Гилберта сводится к выполнению двух следующих действий: во-первых, необходимо задать, какие последовательности символов являются исходными; во-вторых, необходимо задать правила, посредством которых из исходных последовательностей символов можно получать новые последовательности символов.

Подобные преобразования не выходят за рамки операций со значками, написанными на бумаге. Разыгрываемая игра, по сути дела, представляет собой то, что мы, согласно принятым правилам, можем получить, преобразуя одни последовательности значков в другие. Критерий преобразования значков выводится в этом случае за рамки самой математики в область так называемой метаматематики, которая определяет, какие преобразования приемлемы. Именно метаматематика решает, что та или иная последовательность 12 Ф.П. Рамсей и программа логицизма символов может интерпретироваться как допустимое математическое утверждение. Таким образом, с точки зрения Гилберта, работа математика должна заключаться, во-первых, в том, что он принимает некоторые последовательности символов в качестве исходных утверждений (или аксиом), во-вторых, в том, что он принимает определённые правила преобразования, посредством которых из аксиом можно получать следствия. Работа же метаматематика сводится к тому, чтобы установить, какие аксиомы и правила преобразования допустимы. Здесь главным и, пожалуй, единственным критерием выступает требование непротиворечивости всех возможных построений новых последовательностей символов из исходных последовательностей символов, согласно правилам преобразования, что сводится к невозможности построения символа определённого вида.

Другими словами, если при принятых исходных последовательностях символов и при принятых правилах преобразования исходных последовательностей в новые мы не можем получить символ определённого вида, то математическое доказательство является вполне обоснованным. В метаматематике основное значение приобретает доказательство непротиворечивости, т.е. доказательство невозможности построения символа определённого вида, например 0 0.

Но остаются вопросы: на каких основаниях последовательности символов определённого вида принимаются за аксиомы и почему некоторые последовательности символов считаются недопустимыми?1 Как утверждает Рамсей, чтобы ни делал математик, он определённо оставляет значки на бумаге, и поэтому эта точка зрения безусловно истинна; но трудно В рукописи, озаглавленной «Формализм», Рамсей более определённо выказывает сомнение в формализме применительно к поставленной перед собой задаче улучшить программу логицизма: «Главная цель метаматематики заключается в том, чтобы доказать, что заданное множество аксиом не может породить противоречие. Математический прогресс состоит: (1) в выведении новых формул из аксиом; (2) в добавлении новых аксиом и доказательстве того, что противоречие не возникает. Поэтому формализм не имеет общего очевидного преимущества в отношении достоверности. Здесь выдвигаемые преимущества связаны с 3 аксиомами: (1) сводимости; (2) мультипликативности; (3) бесконечности, в которых мы не можем быть уверены и в отношении которых было бы интересно получить доказательство, не предполагая, что они не могут привести к противоречию. Такое доказательство могло бы быть задано независимостью значения, но оно не даёт нам аргумента в пользу формализма» [81. С. 184]. Таким образом, Рамсей считает, что доказательство того, что присоединение дополнительных аксиом к исходной системе не приводит к противоречию, конечно, имеет значение, но для их понимания необходимо дополнительное обоснование, выходящее за рамки символических преобразований.

1. Программа логицизма, теория Витгенштейна и задача Рамсея предположить, что в этом вся истина. Должна быть некоторая причина для выбора аксиом и какая-то причина, по которой особый значок 0 0 рассматривается с таким предубеждением [18. С. 95].

Ответ заключается в том, что аксиомы и правила игры со значками задаются таким образом, чтобы противоречие получить было невозможно. Это достигается именно тем, что рассматриваются исключительно значки на бумаге, которые конечны и обозримы.

Усомниться можно в значении математических понятий, используемых в реальной работе математика и в повседневной жизни. Но если принять точку зрения формализма, то усомниться в использовании значков нельзя, поскольку значки на бумаге осязаемы и перечислимы. Однако, как считает Рамсей, приняв всё это за само собой разумеющееся, всё ещё необходимо спросить, какое предназначение или достоинство заключается в той игре, которую разыгрывают математики, если это действительно игра, а не форма знания. Единственный ответ, который даётся, состоит в том, что некоторые формулы математиков имеют значение или же им можно было бы его придать и что, если эти формулы могут быть доказаны в символической системе, их значение будет истинным [18. С. 96].

Действительно, в повседневной жизни используются не значки на бумаге, а реальное содержание понятий. Например, если у меня есть две собаки и две кошки, я могу сделать вывод, что у меня четыре домашних животных. И здесь ‘2 + 2 = 4’ используется отнюдь не как символическое соглашение, имеющее значение только в рамках определённой игры со значками. Оно указывает на действительное соотношение предметов1.

Но всё-таки в большей степени возражения Рамсея против интуиционизма и формализма касаются не столько самих их программ обоснования математики, сколько понимания общих и экзистенциальных утверждений.

В рамках интуиционизма основные претензии Рамсея касаются Г. Вейля, который в отличие от Брауэра исповедует ‘умеренный’ интуиционизм, не отказывая в применении закона исключённого Здесь позиция Рамсея вполне согласуется с критикой Г. Фреге понимания математических преобразований только лишь как преобразований значков, написанных на бумаге: «Символы есть только средство использования – хотя и очень полезное, даже неизбежное, а не его объекты. Эти последние представлены посредством символов» [40. С. 240].

14 Ф.П. Рамсей и программа логицизма третьего к сингулярным суждениям. В отличие от Брауэра Вейль вряд ли стал бы выглядывать в окно для верификации утверждения «Дождь идёт или дождь не идёт», поскольку считает, что утверждения об единичных предметах или событиях являются истинными или ложными. Сложнее дело обстоит с высказываниями, где употребляются кванторные выражения ‘все’ и ‘существует’. Позиция Вейля связана с критикой процедур перехода от экзистенциальных утверждений к общим и наоборот, которые допускаются в традиционной математике, основанной на классической логике, где, например, доказательство того, что натуральный ряд чисел не обладает некоторым свойством, приводит к утверждению существования числа, не обладающего таким свойством, а доказательство невозможности числа с определённым свойством влечет общие утверждения об отсутствии такого свойства у всего ряда 1. Таким образом, необоснованным оказывается закон исключённого третьего для общих и экзистенциальных суждений, поскольку в отсутствие конкретного примера необоснованность общих и экзистенциальных утверждений не принимается. Доказать – значит привести пример, при отсутствии такого примера доказательства нет, а значит, нет и возможности утверждать, что оно могло или не могло бы быть. С точки зрения Вейля, «2 есть простое число» – настоящее суждение, имеющее истинностное значение, но, например, «Существуют простые числа» – это утверждение, не имеющее истинностного значения, оно является ‘абстракцией’ суждения, которая указывает направление поиска конкретных примеров. Оно не является истинным или ложным, но представляет собой инструкцию, которой можно воспользоваться.

Излагая точку зрения Вейля, Рамсей пишет:

Общие и экзистенциальные пропозиции на самом деле вообще не являются пропозициями. Если я говорю «2 есть простое число», то это подлинное суждение, утверждающее факт, но если я говорю «Существуют простые числа» или «Все числа являются простыми», то вообще не выражаю суждения… Мы можем сказать «Существует простое число» только тогда, когда мы прежде сказали «Это – простое число» и забыли или предпочли не обращать внимание на то, какое именно число это было. Следовательно, не оправданно говорить «Существует то-то и то-то», если у нас нет программы его дейРамсей имеет в виду работу Вейля «О новом кризисе основ математики» [2], с которой он был хорошо знаком и которая впоследствии послужила значительным основанием изменения его собственных взглядов (подробнее см. ниже гл. 5)

1. Программа логицизма, теория Витгенштейна и задача Рамсея ствительного поиска. В результате, математика должна быть весьма значительно изменена [18. С. 94].

Значительное изменение математики Рамсей считает неприемлемым. Общие и экзистенциальные утверждения должны трактоваться так, чтобы всё, что достигнуто обыкновенной математикой, оставалось обоснованным и не связывалось бы с затруднениями в применении определённых процедур доказательства.

Аналогичные претензии Рамсей предъявляет формалистской позиции Д. Гилберта. Значки на бумаги не дают действительного утверждения об общности некоторого свойства, поскольку касаются конкретных преобразований на бумаге. Эти преобразования могут относиться только к конкретным числам и не выходят за рамки арифметики. Тогда возникает вопрос: Как возможна алгебра? Гилберт рассматривает переменные, используемые в алгебраических формулах, которыми заменяются конкретные, перечислимые значки на бумаге, в качестве идеалов. Эти идеалы служат заменой значкам.

Они, по существу, служат сокращениями для того, что не может быть записано за конечную или обозримую последовательность шагов. Но чем являются такие сокращения? Очевидно, что они не могут заменить подлинных общих или экзистенциальных утверждений, поскольку утверждают о всех или некоторых значках обоснованно в не большей степени, чем кванторные утверждения, использующие выражения ‘все’ и ‘существует’. Кроме того, все преобразования в рамках натурального ряда, хотя и не всегда обозримы, – всегда конечны. Таким образом, оказывается, что алгебра совершенно бесполезна, поскольку сводится к арифметике, вычисляющей значки, записанные на бумаге.

Рамсей утверждает:

Затруднительно видеть, каким образом предполагается использовать эти идеалы, ибо собственно математика, по-видимому, сводится к элементарной арифметике, не допускающей даже алгебры, поскольку сущность алгебры в общих утверждениях. Любое же высказывание арифметики может быть легко проверено или доказано без использования высшей математики, которая, если её существование предполагается только ради простой арифметики, кажется совершенно бесцельной [18, С. 97].

Тем не менее, как считает Рамсей, «явно индивидуальные факты простой арифметики кажутся мне на самом деле общими» [18.

С. 99]. Любое утверждение о каком-то предмете уже предполагает 16 Ф.П. Рамсей и программа логицизма возможность экзистенциального обобщения, либо отталкивается от общего закона. Действительно, сингулярное утверждение о том, что у меня есть собака по имени ‘Ральф’ уже ведёт к утверждению с кванторным выражением, что эта собака есть, а значит, вообще есть какие-то собаки. При этом скорее общее утверждение свидетельствует в пользу того, что мы можем привести пример, а не сингулярное утверждение позволяет сделать вывод, что предметы с заданными свойствами существуют.

Обратимся к Рамсею:

Предположение, что общее и экзистенциальное знание существует просто ради индивидуального знания, кажется мне совершенно ложным. В теоретизировании нас в принципе восхищает его общность, и в обыденной жизни вполне достаточно знать, что на неком поле пасётся бык, и нет никакой пользы в том, чтобы, вместо какого-то быка на каком-то поле, знать, что это за бык и где это поле [18.

С. 100].

Однако, с точки зрения Рамсея, главное не в том, что по некоторым основаниям интуиционизм и формализм отказываются от того, чтобы считать общие и экзистенциальные утверждения подлинными суждениями, являющимися истинными или ложными, со всеми вытекающими отсюда последствиями, вплоть до отмены закона исключённого третьего. Главное то, что эти сомнения можно преодолеть, используя теорию Витгенштейна.

С помощью теории Витгенштейна Рамсей, как указывалось выше, собирается преодолеть и недостатки логицизма в версии PM. Но подобная формулировка цели требует рассмотрения, во-первых, что в основаниях математики Рамсей понимает под логицизмом и, вовторых, почему подход, сформулированный Расселом и Уайтхедом, вызывает у него серьёзные возражения. Ответ на первый вопрос Рамсей формулирует непосредственно, поскольку, следуя представителям логицизма, считает, что логическая школа концентрируется на анализе математических понятий, относительно которых показывается, что они определимы в терминах очень небольшого числа фундаментальных логических понятий. Предпринимая такое рассмотрение понятий математики, они сразу же получают рассмотрение математических пропозиций, а именно, что они являются теми истинными пропозициями, в которых встречаются только математические или логические понятия [17. С. 18].

1. Программа логицизма, теория Витгенштейна и задача Рамсея

Таким образом, логицистская программа в основаниях математики сводится для Рамсея к тем же самым задачам, которые в явном виде присутствовали уже у Г. Фреге и наиболее полное выражение получили в формулировке задач, которые Рассел и Уайтхед ставят в PM:

(1) основополагающие понятия математики должны быть определены с помощью понятий логики; (2) в результате такого переопределения все истины математики должны стать истинами логики1.

Со вторым вопросом дело обстоит сложнее, поскольку при ответе на него, как считает Рамсей, необходимо выяснить, что считать исходными логическими понятиями и что, в таком случае, рассматривать как логические и математические истины, сформулированные на их основе.

Рассел на этот вопрос даёт следующий ответ: Он считает, что в математике речь идёт не о конкретных предметах, их признаках и отношениях, но о произвольных предметах и их возможных всех или каких-то свойствах и всех или каких-то отношениях. В этом случае предметы, свойства и отношения представлены переменными; остаются лишь логические константы ‘некоторые’, ‘все’, ‘какой-то’ и т.д.

Оперирование переменными и логическими константами Рассел считает основным признаком математической истины, определяя чистую математику как класс всех пропозиций формы “р влечёт q”, где p и q суть пропозиции, которые содержат одну или более переменных, одинаковых для обеих пропозиций, и ни р, и ни q не содержат каких-либо констант, кроме логических [82. Р. 3].

Таким образом, достаточным признаком математической или логической истины Рассел считает общность формы. То есть специфиПо этому поводу воспользуемся утверждением П.

Бенацеррафа: «Логицизм укладывается в несколько различных версий, каждая со своими новшествами, но большинство из этих версий имеет следующую общую структуру:

1) Истины арифметики переводимы в истины логики;

2) (1) демонстрируется тем, что (а) устанавливаются определения для “внелогического” словаря (понятий) арифметики в “сугубо логических” терминах и (b) отмечается, что переводы, санкционированные этими определениями, перевели арифметические истины в логические истины, а арифметически ложные утверждения – в логически ложные;

3) относительно этой арифметической демонстрации затем утверждается, что обоснована аналитичность математических пропозиций, потому что (а) поскольку определения по предположению сохраняют значение, логические переводы имеют то же самое значение, что и арифметические оригиналы и (b) сами логические истины мыслятся истинными в силу значения, в данном случае – значений встречающихся в них логических частиц (и, таким образом, аналитическими)» [1. С. 254].

18 Ф.П. Рамсей и программа логицизма ку математической истины он видит в том, что она относится не к какой-то определённой вещи или классу вещей, но ко всем вещам или каким-то классам вещей. Однако, как утверждает Рамсей:

Не все такие пропозиции являются пропозициями математики или символической логики. Возьмём, например, ‘Любые две вещи различаются по крайней мере тридцатью способами’; это совершенно общая пропозиция, её можно выразить как следствие, включающее только логические константы и переменные, и она вполне могла бы быть истинной. Но никто не может рассматривать её как математическую или логическую истину; она совершенно отлична от такой пропозиции, как ‘Любые две вещи в совокупности с любыми другими двумя вещами дают четыре вещи’, которая является логической, а не просто эмпирической истиной. В соответствии с нашей философией мы можем провести различие, называя одну случайной, а другую необходимой пропозицией, или же одну – подлинной пропозицией, а другую – просто тавтологией [17. С. 19–20].

Иными словами, для того, чтобы выявить отличительные особенности высказываний логики и математики, необходимо, помимо общности, установить некоторые другие их свойства 1.

Например, утверждения из PM вроде бесконечности или аксиомы мультипликативности составлены исключительно из логических терминов и, поэтому, согласно критерию Рассела, являются аналитическими. Однако сомнение в их логической природе как раз и послужило отвержению в среде математиков программы Рассела. Используя терминологию ‘подлинная пропозиция’ и ‘тавтология’, Рамсей ориентируется на Витгенштейна, отталкиваясь от идей которого он как раз и пытается улучшить программу логицизма.

Надо сказать, что Рассел и сам сомневается в достаточности установленного им признака. В работе «Введение в математическую философию» он, со ссылкой на Витгенштейна, в частности, пишет: «Определение ‘логики’ или ‘математики’ следует искать в новом определении старого понятия ‘аналитических’ суждений. Хотя мы больше не можем быть удовлетворены определением логических суждений как следующих из закона противоречия, мы можем и должны ещё допустить, что они представляют собой класс суждений, полностью отличный от тех, которые мы знаем эмпирически. Все они имеют характеристику, которую мы некоторое время назад назвали ‘тавтологичностью’. Она, скомбинированная с фактом, что они могут быть полностью в терминах переменных и логических констант (логическая константа есть нечто, что остаётся постоянным в суждении, даже тогда, когда все его конституенты изменены), даст определение логики или чистой математики. На настоящий момент я не знаю, как определить тавтологию» [25. С. 219].

1. Программа логицизма, теория Витгенштейна и задача Рамсея

1.2. Теория Л. Витгенштейна

Теорию, которую имеет в виду Рамсей, Витгенштейн формулирует в своём фундаментальном труде Логико-философский трактат (ЛФТ)1.

Если отвлечься от собственно философских следствий этой теории, обращаясь к технической стороне дела, то для Рамсея она, собственно, сводится к следствиям следующих трёх положений2:

1. Высказывание характеризуется условиями истинности, т.е.

оно может быть истинным и может быть ложным;

2. Высказывания бывают атомарными и неатомарными. Атомарное высказывание не включает логических констант типа ‘если, то’, ‘или’, ‘не’ ‘все’, ‘некоторый’ и т.д., оно состоит исключительно из имён, тогда как неатомарное высказывание включает логические константы;

3. Условия истинности неатомарных высказываний находятся в функциональной зависимости от условий истинности атомарных высказываний.

Достаточно просто проиллюстрировать на примерах два первых положения. Выражения «Сократ – философ», «Сократ мудр», «Сократ не мудр», «Сократ мудр, или Сократ не философ», «Все философы мудрецы», «Некоторые мудрецы – философы» являются высказываниями (пропозициями). При соответствующих условиях они могут быть истинными и могут быть ложными. Но высказывания «Сократ – философ» и «Сократ мудр», при подходящем понимании элементарности признака, являются атомарными, тогда как высказывания «Сократ не мудр», «Сократ мудр, или Сократ не философ» и «Все философы мудрецы» являются неатомарными, поскольку содержат логические константы ‘не’, ‘или’, ‘все’, ‘некоторые’ и т.д.

На третьем положении остановимся несколько подробнее. Согласно третьему положению, условия истинности и ложности неатомарных высказываний зависят от условий истинности и ложности атомарных. Для начала возьмём простейший случай: «Сократ мудр»

и «Сократ не мудр». Нетрудно заметить, что при истинности первого высказывания второе всегда будет ложным и наоборот. Если же атомарное высказывание в данном случае обозначить как ‘p’, а отрицание – как ‘~’, то ‘~p’ всегда будет иметь условия истинности, Эта теория изложена Витгенштейном в ЛФТ параграфы 4.3.–4.5. [4. С. 108–118].

Подробнее см. [28. С. 197–238].

20 Ф.П. Рамсей и программа логицизма противоположные ‘p’. Рассмотрим теперь высказывание «Сократ мудр, или Сократ – не философ», обозначая «Сократ – философ» как ‘q’, а ‘или’ как ‘’, тогда само высказывание запишется как ‘p ~q’.

Его условия истинности зависят от условий истинности ‘p’ и ‘q’ и от того способа, которым они соединены. Высказывание ‘p ~q’ будет истинным для одних условий истинности ‘p’ и ‘q’, и ложным для других. Подразумевая обычный смысл за знаком ‘’, нетрудно заметить, что выражение ‘p ~q’ означает «‘p’ – истинно, или ‘q’ – ложно». Т.е. в наших обозначениях это означает, что «‘Сократ мудр’ – истинно, или ‘Сократ – не философ’ – ложно».

Этот подход нетрудно обобщить для произвольных высказываний. Пусть p, q, r … – атомарные высказывания, каждому из которых соответствуют два условия истинности. Любое неатомарное высказывание, построенное из n атомарных высказываний, должно учитывать 2n истинностных возможностей, при которых оно может быть истинным и может быть ложным, поскольку необходимо учитывать все возможные комбинации условий истинности атомарных высказываний. Последнее легко представить в виде разработанных Витгенштейном таблиц истинности.

Так, например, истинностные возможности неатомарного высказывания, построенного из 2 атомарных, будут выглядеть следующим образом:

Таблица1 р q И И И Л Л И Л Л (здесь И и Л обозначают истину и ложь соответственно, а каждая строка таблицы указывает на одну из возможностей). То есть p может быть истинным, и q может быть истинным; р может быть ложным, а q – истинным, и т.д. При установлении условий истинности неатомарного высказывания следует учитывать, что одни истинностные возможности могут быть реализованы, а другие – нет. К примеру, приведённое выше высказывание ‘p ~q’ реализует первую, третью и четвёртую из указанных возможностей, отвергая вторую.

Если представить это в виде таблицы, обозначая напротив соответствующих строк принятие возможности как И, а отвержение – как Л,

1. Программа логицизма, теория Витгенштейна и задача Рамсея

–  –  –

Таким образом, условия истинности неатомарных высказываний находятся в функциональной зависимости от истинностных возможностей, предоставляемых им атомарными высказываниями, из которых они построены. Функции, которые устанавливают такое согласование, Витгенштейн называет функциями истинности.

Отвлечёмся теперь от приведённого примера. Если p и q задать произвольно, то для построенного из них неатомарного высказывания можно задать все возможные функции истинности, которые при согласовании отбирают истину для одних возможностей и ложь для других.

В этом случае выборки будут находиться в спектре от отбора истины для всех возможностей до отбора для всех возможностей лжи. Для двух атомарных высказываний p и q это можно выразить в следующей таблице, где каждый столбец указывает на одну из возможных выборок согласования (т.е.

представляет собой один из возможных столбцов, который мы могли бы построить для предыдущей таблицы):

Таблица 3

И И И И И И И И Л Л Л Л Л Л Л Л

И И И И Л Л Л Л И И И И Л Л Л Л

И И Л Л И И Л Л И И Л Л И И Л Л

И Л И Л И Л И Л И Л И Л И Л И Л

Двум атомарным высказываниям соответствуют 16 возможных функций истинности, определяющих условия истинности неатомарных высказываний. Подобный подход нетрудно распространить на произвольное число атомарных высказываний. Как уже говорилось, при n атомарных высказываниях число истинностных возможностей 22 Ф.П. Рамсей и программа логицизма равно 2n. Тогда число выборок условий истинности построенных из них неатомарных высказываний, заданных всеми возможными 2n функциями истинности, равно 2. Если n равно 2, как в примере с последней таблицей, тогда возможных выборок будет 16, если n равно 3, тогда возможных выборок будет 64 и т.д.

Отметим, что подобный подход распространялся пока только на те неатомарные высказывания, где n было заранее заданным, конечным числом. Это связано со спецификой рассматриваемых до сих пор логических союзов, которые их связывают. Действительно, ‘или’, ‘не’, ‘и’ (или символически ‘”, ‘~’, ‘’ соответственно) всегда относятся к конечному числу атомарных высказываний, объединяя их в неатомарные высказывания. Подобный подход к неатомарным высказываниям, затрагивающий конечное число атомарных высказываний, не является новацией Витгенштейна, он использовался уже Г. Фреге [41, С. 71–78.], но главной заслугой Витгенштейна Рамсей считает то, что он осознал, что если мы принимаем такое рассмотрение истинностных функций как выражение согласования или несогласования с истинностными возможностями, то нет причин, по которым аргументы истинностных функций не являлись бы бесконечными по числу [17. С. 23].

От себя мы добавим, что в данном случае речь может идти не только о ‘бесконечных по числу’, но даже просто о необозримых или неизвестных конечных числах атомарных высказываний. Возьмём, к примеру, высказывание «Все философы мудрецы». Очевидно, во-первых, что оно не является атомарным, поскольку не содержит имён индивидов, а указывает на их некоторую совокупность. Вовторых, эта совокупность может быть как конечной, так и бесконечной. Поэтому, можно говорить, что здесь неизвестность объёма данной совокупности уравнивает подход к конечным и бесконечным множествам предметов. Но как подходить к подобного рода высказываниям? С точки зрения логики ключевым здесь является слово ‘все’, поскольку оно не относится к содержательным особенностям данного высказывания, но характеризует формальную связь элементов его содержания. Таким образом, анализ подобных высказываний сводится к анализу функционирования слов ‘все’ и ‘некоторые’.

Начнём с атомарного высказывания «Сократ – философ» и обратим внимание на присутствующее здесь имя ‘Сократ’. Нетрудно заПрограмма логицизма, теория Витгенштейна и задача Рамсея метить, что это имя мы можем заменить другим, например, ‘Платон’, в этом случае получится высказывание «Платон – философ».

В таком случае место, на котором стоит имя ‘Сократ’, можно заменить переменной, получив выражение ‘х – философ’. С точки зрения Витгенштейна, это выражение является функцией, областью определения которой является множество высказываний, в которых переменная заменена именами. Так, областью определения функции ‘х – философ’ являются высказывания «Сократ – философ», «Платон – философ», «Алкивиад – философ» и т.д. Областью значения данной функции выступают истинность и ложность атомарных высказываний. При таком подходе функция ‘х – философ’ согласует с атомарными высказываниями «Сократ – философ» и «Платон – философ» значение ‘истина’, а с атомарным высказыванием «Алкивиад – философ» – значение ‘ложь’.

Следуя Рамсею, выражения типа ‘х – философ’ будем называть пропозициональными функциями и обозначать как ‘fx’. Тогда, областью определения такой пропозициональной функции будет множество атомарных высказываний вида ‘fa’, ‘fb’, ‘fc’ и т.д. (где ‘a’ ‘b’ ‘c’ и т.д. суть имена индивидов). Нетрудно заметить, что этому множеству атомарных высказываний будет соответствовать множество их возможностей истинности, которое по числу будет 2n (при этом неважно, конечно и известно n, не известно или бесконечно). С возможностями истинности атомарных высказываний можно сопоставить их согласования или несогласования с условиями истинности неатомарных высказываний, метод построения которых предлагает Витгенштейн. Здесь уже не годятся выражения связи известного конечного числа атомарных высказываний типа ‘или’, ‘не’, ‘и’. Согласованность или несогласованность в данном случае выражают фразы ‘все’ и ‘некоторые’, которые в условиях неопределённости числа n указывают, берётся ли вся область определения пропозициональной функции или какая-то её часть. Используя символические выражения ‘(х). fx’ и ‘($x). fx’, мы можем указать, что все или некоторые высказывания, построенные в соответствии с пропозициональной функцией ‘fx’, являются истинными. Другими словами, высказывание вида ‘(х). fx’ будет истинным, если будут истинными все высказывания вида ‘fa’, ‘fb’, ‘fc’, а высказывание вида ‘($x). fx’ будет истинным, если будет истинным хотя бы одно из высказываний вида ‘fa’, ‘fb’, ‘fc’.

24 Ф.П. Рамсей и программа логицизма В этом отношении выражения общности ‘все’ и ‘некоторые’ можно соотнести с конъюнкцией и дизъюнкцией, т.е. с выражениями ‘и’ и ‘или’, поскольку согласованность и несогласованность истинностных возможностей высказывания ‘(х). fx’ соответствует такому согласованию для высказывания ‘fa fb fc …’, а согласованность и несогласованность истинностных возможностей высказывания ‘($x). fx’ будет соответствовать такому согласованию для высказывания ‘fa fb fc …’, так как истинными они будут при одних и тех же условиях.

Нетрудно заметить, что подобный подход можно распространить на случаи, где пропозициональная функция включает более чем одну переменную или с помощью логических союзов комбинируется с другими пропозициональными функциями, как, например, в приведённом выше примере «Все философы мудрецы», который должен рассматриваться как комбинация утверждения общности и условной связи и формально представляться следующим образом: ‘(x). fx qx’1. Главное следствие подобного анализа состоит в том, что выражения общности можно уподобить логическим союзам. Распределение истинностных возможностей первых будет точно таким же, как и у вторых, и простираться от согласования всех их выборок до несогласования ни одной из них. Т.е. для любого неатомарного высказывания типа ‘(х). fx’ будет 2n истинностных возможностей для n 2n атомарных высказываний вида ‘fa’, ‘fb’, ‘fc’ и т.д. и 2 возможностей их согласования и несогласования, которые распределяются точно так же, как в табл. 3.

Из распределения согласований и несогласований наибольший интерес вызывают первый и последний случай, т.е. когда согласуются все выборки возможностей истинности и не согласуется ни одна (для табл. 3 – это первый и последний столбец). Эти случаи Витгенштейн называет тавтологией и противоречием соответственно.

Таким образом, тавтология – это неатомарное высказывание, котоЭтот подход вполне согласуется с точкой зрения Рассела, выраженной в статье «Математическая логика, основанная на теории типов», на подобные утверждения общности: «Поскольку все люди смертны, то какой-то ложной пропозиции, являющейся значением функции ‘Если х – человек, то х - смертен’, быть не может. Ибо, если она вообще является пропозицией, условие ‘х – человек’ должно быть пропозицией, таковой должно быть и следствие ‘х – смертен’. Но если условие – ложно, то условное высказывание истинно; а если данное условие истинно, то это условное высказывание – истинно. Следовательно, ложной пропозиции формы ‘Если х – человек, то х – смертен’ быть не может» [27. С. 34].

1. Программа логицизма, теория Витгенштейна и задача Рамсея рое истинно при любых возможностях истинности составляющих его атомарных высказываний, а противоречие – это неатомарное высказывание, которое при любых возможностях истинности – ложно. Тавтологии и противоречия могут быть любого вида. Например, ‘p ~p’ и ‘(x). fx : : fa’ – тавтологии, а ‘(p ~p)’, ‘~. ($x). fx :

fa’ – противоречия1. Конечно, выражения типа ‘p q’ указывают на конечное число атомарных высказываний, а выражения типа ‘(х).

fx’– на бесконечное. Но анализ одинаков, одинаковы и следствия.

Суть тавтологий и противоречий от этого не изменится. Тавтологии и противоречия могут быть какой угодно степени сложности, важно лишь то, что метод Витгенштейна в принципе позволяет опознать их как тавтологии и противоречия. Тавтологии и противоречия тесно связаны, поскольку, отрицая одно, мы получаем другое и наоборот.

Особенность истинностной оценки тавтологий и противоречий приводит Витгенштейна к тому, что он не считает их подлинными высказываниями. Подлинное высказывание, согласуя или не согласуя свои истинностные возможности, нечто утверждает о реальности, тогда как тавтологии и противоречия, которые истинны или ложны при любых условиях, ничего не говорят о реальности, но являются частью символической системы.

С этим согласен и Рамсей:

Подлинная пропозиция нечто утверждает о реальности, и она является истинной, если реальность такова, как утверждается. Но тавтология – это символ, сконструированный с тем, чтобы ничего не говорить о реальности, но выражать полное неведение, согласуясь с любой возможностью [17. С. 27].

Именно тавтологии и противоречия Витгенштейн, и вслед за ним Рамсей, рассматривает как предложения логики. Если, согласуясь с традицией Лейбница и Канта, утверждения логики считать аналитическими, то их смысл состоит как раз в том, что они не имеют отношения к действительности, их истинность или ложность обосновывается через них самих. Таким образом, понятие ‘тавтология’ получает чётко определённый смысл.

Но теория Витгенштейна, используемая для решения затруднений, возникающих в структуре PМ, важна для Рамсея как минимум ещё в двух отношениях:

Здесь и далее используется символика, принятая в PM, которую употребляет Рамсей и объяснение которой дано во Введении. Исключение составляют цитаты современных авторов, символика которых без труда переводима в символику РМ.

26 Ф.П. Рамсей и программа логицизма

1. Способ построения функций истинности, согласующих истинностные возможности атомарных высказываний в рамках неатомарных, могут быть построены и выражены разными способами. Вернёмся, например, к табл. 2. Представленная в ней функция согласования соответствовала выражению ‘p ~q’. Однако то же самое согласование можно выразить с помощью ‘~(p ~q)’, поскольку и то, и другое выражения истинны, когда p – истинно, или q – ложно. То же самое относится к высказываниям, включающим общность указания.

Например, одному и тому же согласованию будут соответствовать выражения ‘~ (х). fx’ и ‘($x). ~fx’. Отсюда вытекает, что необходимо различать само выражение и то, что оно выражает. Рамсей утверждает, что два пропозициональных символа должны рассматриваться как примеры одной и той же пропозиции – а именно, когда они выражают согласование и несогласование с одним и тем же множеством истинностных возможностей атомарных пропозиций [17. С. 25].

2. Теория Витгенштейна позволяет объяснить, почему тавтологии и противоречия обычно приравниваются к подлинным высказываниям. Рамсей считает, что ассимиляция тавтологий и противоречий к истинным и ложным пропозициям соответственно вытекает из того факта, что тавтологии и противоречия могут рассматриваться в качестве аргументов истинностных функций так же, как обычные пропозиции, а при определении истинности или ложности истинностной функции тавтологии и противоречия среди её аргументов должны считаться за истинные и ложные соответственно [17. С. 27].

Однако конъюнктивное присоединение тавтологии к любому высказыванию не меняет условий его согласования. В этом смысле тавтологии при описании реальности являются излишними, поскольку, если ‘t’ – тавтология, то ‘t и р’ суть то же самое, что и ‘p’. Тавтологии и противоречия могут функционировать в структуре выражения неатомарных высказываний, но они оказывают иное воздействие на условия истинности, чем подлинные высказывания.

Эти два положения оказываются важными при трансформации некоторых утверждений из PM, и к ним мы вернёмся ниже. Пока же остановимся на понятии ‘тавтология’, охарактеризовав с его помощью задачу, стоящую перед Рамсеем.

1. Программа логицизма, теория Витгенштейна и задача Рамсея

1.3. Задача Рамсея

Следуя Витгенштейну, Рамсей считает, что все высказывания, имеющие характер логических истин, являются тавтологиями.

Именно признаком тавтологичности следует дополнить предложения математики, чтобы обосновать программу логицизма. Действительно, ни Г. Фреге, ни Б. Рассел, указав необходимый критерий математических истин, их обобщённость, не установили критерий достаточный, без которого вся программа логицизма повисает в воздухе. Важность этого критерия связана ещё и с тем, что другие, отличные от логицизма направления в основаниях математики, в отсутствие критерия достаточности не принимали некоторые положения PM, сомневаясь в их логическом характере. Рамсей выдвигает в качестве достаточного критерия свойство тавтологичности в смысле Витгенштейна и утверждает, что к существу математических пропозиций относится то, что «их содержание должно быть совершенно обобщённым, а их форма – тавтологичной» [17. С. 21]. Другими словами, «адекватную теорию мы можем получить, только рассматривая математику как составленную из тавтологичных обобщений»

[17. С. 21]. Поэтому реабилитация программы логицизма состоит для Рамсея как раз в том, чтобы все обобщённые предложения, принятые в качестве исходных Расселом, либо трактовать как тавтологии в смысле Витгенштейна, либо удалить их как не соответствующие критерию достаточности 1.

Р. Карнап, рассматривая историю становления программы логицизма [48. P. 31– 41), различает два тезиса логицизма: тезис определимости и тезис доказуемости.

Математика сводима к логике в смысле первого тезиса, если все понятия математики посредством явных определений могут быть выведены из понятий логики (в частности, понятие числа должно быть определено в рамках логической системы только с использованием логических союзов, кванторов и равенства). Реализация тезиса доказуемости должна привести к тому, что, при условии выполнения первого тезиса, все теоремы арифметики выводимы из аксиом логики с использованием стандартных логических процедур. Р. Карнап утверждает, что Фреге и Рассел понимали программу логицизма в смысле выполнимости первого тезиса. И только Рамсей, с точки зрения поставленной им задачи дополнить признак полной обобщённости предложений математики признаком их тавтологичности, по сути дела уже предвосхитил, как считает Карнап, его дистинкцию, осознав недостаточность выполнения первого тезиса.

Ср. также и утверждение Санду: «Для Рамсея логицистская программа, которая редуцирует математику к классу пропозиций, содержащих только константы (включая равенство), но не показывает, что эти пропозиции являются тавтологиями, останавливаются на полпути, поскольку она показывает только то, что математические высказывания предполагают полную общность, не показывая, однако, что они предполагают полную необходимость. В этом случае правильно сказать, что дистинкция 28 Ф.П. Рамсей и программа логицизма Если обратиться к структуре PM, то нетавтологичными обобщениями здесь представляются три аксиомы: Сводимости, Бесконечности и Мультипликативности.

Все эти положения, являясь совершенно общими, не удовлетворяют принципу тавтологичности и, следовательно, не могут претендовать на статус положений логики. Действительно, если исходить из того, что логика, к которой сводима математика, отличается тавтологичностью содержания, то эти положения могут претендовать только на обобщение эмпирических фактов. Именно эти три положения вызывают сомнение в своей логической природе у критиков логицизма, да и, как можно судить по некоторым высказыванием, у самого Рассела, поскольку предполагают существование вещей1.

Реабилитация программы логицизма по существу связана именно с этими тремя положениями. Если это так, то перед Рамсеем встат альтернатива: либо в структуре логики и математики они излишни, либо они должны быть переинтерпретированы таким образом, чтобы их можно было трактовать как тавтологии. Первую альтернативу Рамсей избирает для аксиомы сводимости, вторую – для аксиом мультипликативности и бесконечности.

Возникает, однако, вопрос, почему в структуре PM эти три положения в принятой в этом труде формулировке оказались вполне совместимыми с логицизмом? Рамсей связывает это с тремя принципиальными недостатками PM:

1. Затруднения с преодолением противоречий, все из которых Рассел связывает с так называемым ‘принципом порочного круга’.

2. Неадекватная трактовка экстенсиональности математики, основанная на допущении только определимых классов. В PM даётся «определение класса, которое применяется только к определяемым классам, так что все математические пропозиции о некоторых или всех классах истолковываются неправильно» [17, С. 42].

Карнапа между двумя видами редукции математики к логике отзывается эхом в более ранней дистинкции Рамсея между теми математическими высказываниями, которые обладают полной общностью, и теми, которые являются необходимыми. С оглядкой на эту дистинкцию мы можем сказать, что существенная часть работы Рамсея в основаниях математики состояла в том, чтобы улучшить систему Principia так, чтобы она сохранила только те аксиомы, которые являются тавтологиями (в смысле Витгенштейна)» [86. P. 238].

В книге «Введение в математическую философию» Рассел, в частности, пишет:

«Примитивные суждения в Principia Mathematica таковы, чтобы был возможен вывод о существовании по крайней мере одного индивида. Но сейчас я рассматриваю это как дефект логической чистоты» [25. С. 218].

1. Программа логицизма, теория Витгенштейна и задача Рамсея

3. Неправильная трактовка тождества (равенства), используемого при определении классов. В качестве определения тождества Рассел принимает тождественность неразличимых, но «данное определение интерпретируется неверно, поскольку оно не определяет тот смысл, в котором действительно используется символ тождества»

[17. С. 50].

Эти три недостатка тесно взаимосвязаны, но, как показывает Рамсей, можно установить их соответствие с указанными выше аксиомами. Преодоление противоречий в рамках разветвлённой теории типов приводит к необходимости введения аксиомы сводимости, истинность которой нет причин предполагать, поскольку «если бы она и была истинной, то это было бы счастливой случайностью, а не логической необходимостью, ибо она не является тавтологией»

[17. С. 47]. Неправильная трактовка экстенсиональной установки математики приводит к специфическому пониманию аксиомы мультипликативности:

Это неверное понимание не просто вызывает возражение, когда рассматривается само по себе, оно особенно пагубно в связи с аксиомой мультипликативности, которая при надлежащей интерпретации является тавтологией, но при неверном понимании, на манер Principia Mathematica, становится значимой эмпирической пропозицией, истинность которой нет причин предполагать [17. С. 42].

Наконец, трактовка тождества приводит к эмпирическому пониманию аксиомы бесконечности, ибо как ошибочное определение классов особенно неудачно в связи с аксиомой мультипликативности, так и ошибочное определение тождества особенно вводит в заблуждение в связи с аксиомой бесконечности» [17. С. 52].

Устранение этих трёх недостатков должно привести к корректировке программы логицизма, согласовав его с достаточным критерием, полученным из теории тавтологий Витгенштейна.

Но прежде, чем обратиться к новациям Рамсея, рассмотрим некоторые особенности логицистской программы в основаниях математики в том виде, в котором она представлена в PM, особое внимание уделяя тем её моментам, которые вызывают сомнение в логической природе её основоположений.

30 Ф.П. Рамсей и программа логицизма

–  –  –

1.4.1. Определение натурального числа у Г. Фреге Как указывалось выше, начальный пункт программы логицизма заключается в определении терминов математики в терминах логики. В общих чертах эту задачу попытался осуществить Г. Фреге, сводя основное понятие математики, понятие целого положительного числа, к категориям логики [40]. Он отказывается от натуралистической и психологической трактовки чисел, резко критикуя представления о том, что числа являются свойством вещей реального мира или характеристикой субъективных психологических представлений. Действительно, когда мы говорим, например, что у Марса есть два спутника, мы не имеем в виду, что двойка – это какая-то их реальная характеристика, наподобие формы, размера или массы.

Физические свойства спутников вполне могли бы измениться, но при этом их всё равно осталось бы два. Число не является физическим свойством, он не изменяется с изменением последних. Оно вообще не является свойством в обычном смысле, например, в том смысле, в котором свойством является цвет. Можно говорить, что у спутников Марса одинаковый или разный цвет, но вряд ли можно говорить, что у них одинаковое или разное число.

В ещё меньшей степени можно считать числа характеристикой субъективных представлений. Действительно, мы можем рассматривать Марс и его спутники как три небесных тела, а можем рассматривать как систему тел, состоящую из двух элементов, планеты и её сателлитов. Но это столь же мало характеризует наши представления, как и сами небесные тела. Поскольку, если бы это было так, у каждого было бы своё представление о числе, и никакой объективный счёт был бы невозможен.

Фреге считает, что, когда мы говорим о двух спутниках Марса, мы имеем в виду, что под понятие ‘число спутников Марса‘ подпадает ровно два предмета или, что то же самое, объему понятия ‘число спутников Марса’ принадлежит ровно два предмета. Таким образом, он предлагает рассматривать числа как характеристики понятий, которые, в его понимании, хотя и не являются предметами реального мира, обладают достаточной степенью объективности, поскольку не составляют содержание психической жизни отдельного человека, но являются достоянием многих.

1. Программа логицизма, теория Витгенштейна и задача Рамсея Определение числа в качестве свойства определённых понятий Фреге осуществляет в два этапа. Во-первых, необходимо дать общее определение числа, и, во-вторых, на его основе следует дать определение конкретных чисел, по возможности сохранив основные свойства натурального ряда. Начнём с первого. Нетрудно заметить, что разные понятия могут характеризоваться одним и тем же числом.

Например, понятию ‘Афинские тираноубийцы’ соответствует то же самое число, что и понятию ‘спутники Марса’, а именно, 2. Такие понятия Фреге называет равночисленными. В общем случае равночисленными называются понятия, объёмы которых находятся во взаимно однозначном отношении.

Фреге считает, что понятие равночисленности более фундаментально, чем понятие числа, и именно, отталкиваясь от равночисленности, его нужно определять. Это следует из того факта, что равночисленность понятий мы можем устанавливать, не имея никакого представления о конкретном числе. Например, мы можем не знать, сколько в конечном счёте на приёме будет гостей, но при этом вполне быть уверены, что столовых приборов окажется ровно столько же. Таким образом, в этом случае понятия ‘гости’ и ‘столовые приборы’ оказываются равночисленными.

Равночисленность характеризует не только два понятия. Равночисленными являются все понятия, объёмы которых находятся во взаимно однозначном отношении. В этом отношении равночисленность задаёт выделенные непересекающиеся совокупности понятий.

На этом основании уже можно ввести общее определение числа:

Число – это то, что соответствует объёму равночисленных понятий.

Приведём определение самого Фреге:

Теперь мы можем дать следующее определение:

Выражение «Понятие F равночисленно понятию G» равнозначно выражению «Существует отношение f, которое взаимно однозначно соотносит предметы, подпадающие под понятие F, с предметами, подпадающими под понятие G».

Я повторю:

Число, соответствующее понятию F, есть объём понятия ‘равночисленно понятию F’, и добавлю:

Выражение «n есть число» равнозначно выражению «Существует понятие такое, что n есть соответствующее ему число».

Понятие числа, таким образом, объяснено [40. С. 208].

32 Ф.П. Рамсей и программа логицизма Таким образом, мы получили общее определение числа. Остаётся на его основании сформировать понятия конкретных чисел.

Здесь можно было бы действовать следующим образом. Для каждой совокупности выделить какое-то одно понятие и говорить о том, что конкретное число соответствует понятию ‘понятия, равночисленные с этим выделенным понятием’. Например, число 2 в этом случае можно было определить как то, что соответствует понятию ‘понятия, равночисленные понятию спутники Марса’. Но такое определение было бы эмпирическим, а потому бесполезным для целей математики, поскольку зависело бы от действительного существования подпадающих под такие понятия предметов. Если же при определении математических понятий мы ориентируемся на логику, чьё содержание, как считает Г. Фреге, образуют аналитические, а не синтетические суждения, то определения должны вводиться так, чтобы никоим образом не зависеть от реального состояния дел. Поэтому следует найти такие понятия, которые, при приписывании им конкретных чисел, не требовали бы обращения к содержанию реального мира. Тогда, если такие понятия введены чисто аналитически, любое число должно определять совокупность равночисленных им понятий.

Для начал нужно определить 0. С точки зрения Фреге, для этого подошло бы любое пустое понятие. Но поскольку оно должно вводиться аналитически, в качестве такового он выбирает понятие ‘неравное себе’. Действительно, суждение ‘а = а’ в рамках традиционной логики (например, у Лейбница и Канта) всегда рассматривалось как аналитическое суждение. И наоборот, нарушение закона тождества служило основанием применения принципа непротиворечия, что служило обоснованием аналитических суждений. Таким образом, принимая для равенства определение Лейбница, которое сводится к отождествлению неразличимых, если мы возьмём понятие ‘неравное себе’, то оно окажется аналитически пустым; под это понятие по логическим основаниям не подпадает ни один предмет, т.е.

оно имеет логически пустой объём. И мы получаем чисто аналитическое определение 0. Как пишет Фреге:

Поскольку под понятие ‘неравное себе’ ничего не подпадает, я объясняю: 0 – это число, соответствующее понятию ‘неравное себе’ [40. С. 210].

1. Программа логицизма, теория Витгенштейна и задача Рамсея Теперь чисто аналитически можно перейти к определению числа 1. У нас уже есть число 0, которое соответствует понятию ‘неравное себе’. Если теперь взять понятие ‘равно 0’, то под него подпадет как раз один-единственный предмет, а именно, сам 0. Таким образом, мы получаем число 1 как число, соответствующее понятию ‘равное 0’. Помимо того, что мы получили число 1, нетрудно заметить, что предложенный способ его получения прямо приводит к тому, что число 1 непосредственно в ряду чисел следует за 0, а сам 0 есть начало ряда. Теперь, поскольку начало ряда есть и показано, каким образом из него можно получить число, непосредственно следующее за ним, достаточно задать общую процедуру того, как из предшествующего числа получить число, непосредственно следующее за ним в ряду. Фреге предлагает:

Для доказательства того, что в натуральном ряду чисел за каждым числом n непосредственно следует число, необходимо предъявить понятие, которому соответствует предыдущее число. В качестве такового мы выбираем: ‘принадлежащий натуральному ряду чисел, оканчивающемуся на n’ [40. С. 214].

При таком подходе по каждому заданному числу можно определить число, непосредственно следующее за ним. Допустим, нам нужно определить число, непосредственно следующее за числом 1. Согласно приведённому определению, таким число будет число, соответствующее понятию, с помощью которого определён ряд, заканчивающийся на

1. В этом ряду уже заданы числа 0 и 1, следовательно, данному понятию будет соответствовать число 2, поскольку оно будет задавать понятие, равночисленное понятию, под которое подпадают 0 и 1. Согласно приведённым определениям, это будет понятие,‘равное 1’. Поскольку 1 – это число, соответствующее понятию ‘равное 0’, а 0 – это число, соответствующее понятию ‘неравное себе’, то число 2 – это понятие «равное “равное ‘неравное себе’”». Ряду, заканчивающемуся здесь на 2, принадлежат 0 и 1, причём 2 есть число, непосредственно следующее за 1. Та же самая последовательность шагов относится к числу, следующему за 2 и т.д. Эта индуктивная процедура может быть продолжена сколь угодно долго, применяясь к любому n, а, значит, она задаёт любое число натурального ряда.

При этом нетрудно заметить, что данная процедура сохраняет основные свойства, которые требуются от натурального ряда чисел:

во-первых, 0 – есть число, которое непосредственно не следует ни за каким другим числом; во-вторых, за каждым числом не может слеФ.П. Рамсей и программа логицизма довать оно само; в-третьих, за каждым числом, которое в натуральном ряду следует за 0, непосредственно следует какое-то и только одно число. Отсюда вытекает следующее определение: «Предложение “n принадлежит натуральному ряду чисел, начинающемуся с 0” равнозначно с “n – есть конечное число” [40. С. 218]. При этом добавим, что n может быть сколь угодно большим, возможно, не достижимым за конечное число шагов. Главное в том, что предложенная индуктивная процедура позволяет определить все числа натурального ряда, обращаясь только к понятиям логики.

Здесь следует сделать одно уточнение. С точки зрения PM определение понятия числа у Фреге можно трактовать двояко: интенсионально и экстенсионально, поскольку понятия Фреге рассматривает как одноместные функции, а соответствующие им объёмы – как классы некоторых предметов.

С одной стороны, Фреге, развивая свой подход, рассматривает понятия как одноместные функции, областью определения которых являются элементы произвольной природы, а областью значения истина и ложь [42]. В этом случае, например, понятие ‘спутник Марса’ выражает функцию ‘x – спутник Марса’, где для определённых значений x высказывания ‘а – спутник Марса’, ‘b – спутник Марса’ и т.д. будут истинными, а для других ложными. Объём понятия ‘спутник Марса’ в этом случае будут образовывать те предметы, которым функция ‘x – спутник Марса’ сопоставляет значение ‘истина’. Если подобного рода функцию представить в виде fx, то можно сказать, что некоторой функции gx, соответствует то же самое число, когда области определения fx и gx находятся во взаимно однозначном соответствии (т.е. во взаимно однозначном соответствии находятся именно те совокупности предметов, которым данные функции сопоставляют значение истина).

При таком подходе функция, которой соответствует 0, будет выражать свойство ‘x x’, поскольку область определения данной функции, очевидно, пуста, так как любой индивид равен самому себе. Область определения функции, которой соответствует число 1, будет состоять из функции, которой соответствует число 0 и т.д. Подобная интенсиональная трактовка определения числа допускает функции, выражающие свойства индивидов, функции, выражающие свойства свойств индивидов и т.д., до бесконечности.

С другой стороны, при экстенсиональной трактовке классы, или объёмы понятий, не обязательно задавать через функцию, выраПрограмма логицизма, теория Витгенштейна и задача Рамсея жающую определённое свойство. Достаточно того, что элементы одного класса мы можем поставить во взаимно однозначное соответствие с элементами другого класса. Например, следующим образом: Если у нас есть класс {a, b, c} и класс {a, b, g}, где a, b, c, a, b, g – элементы произвольной природы, то эти классы имеют одно и то же число, поскольку мы можем взаимно однозначно сопоставить их элементы, скажем, так: a с a, b с b и c с g. Этот подход нетрудно также распространить на классы со сколь угодно большим количеством элементов. Производность природы здесь не имеет никакого значения, главное, что они образуют объём некоторого понятия.

При таком подходе совсем нетрудно задать класс, которому соответствовало бы число 0. Это – пустой класс, в который не входит ни один объект, или символически. Этот класс можно было бы задать любым противоречивым свойством. Число данного класса было бы равно числу любого пустого класса, т.е. все пустые классы были бы ему равночисленны. Далее, раз у нас есть, мы можем образовать класс, состоящий из этого элемента, т.е. {}, и этот класс задаёт число, которое соответствует всем тем классам, которые ему равночисленны, а именно, число 1. Из уже имеющихся элементов и {} образуется следующий класс: {, {}}, взаимно однозначное соответствие с которым образует следующее в ряду число 2 (следование в ряду здесь вполне соответствует определению Фреге, поскольку каждое предшествующее в ряде число принадлежит в качестве элемента последующему числу). Эту процедуру нетрудно продолжить, и в результате мы получаем ряд:, {}, {, {}}, {, {}, {, {}}}... В этом случае мы получаем определения чисел, которые не зависят от эмпирических характеристик классов, находящихся во взаимно однозначном соответствии, но основываются исключительно на аналитическом положении о существования класса, которому не принадлежит ни один элемент.

Отметим, что и интенсиональная, и экстенсиональная трактовка определения числа у Фреге сохраняют все свойства, обычно приписываемые натуральному числовому ряду, о которых говорилось выше.

Свой подход к определению математических понятий Г. Фреге, безотносительно к интенсиональной или экстенсиональной трактовке определения понятия числа, полностью оформляет в двухтомном труде «Основные законы арифметики» [59]. И такой способ определения числа и числового ряда представляется вполне естественным, если бы не одно ‘но’. Оказалось, что подход Фреге не свободен от противоречий.

36 Ф.П. Рамсей и программа логицизма Прежде, чем перейти к противоречиям, обратим внимание на одну особенность фрегеанского способа рассмотрения понятий при определении чисел натурального ряда. Способ задания понятий (ни в интенсиональной, ни в экстенсиональной трактовке) у Фреге ничем не ограничен, в том смысле, что понятия могут предполагать любые свойства при условии, что этим свойствам может соответствовать некоторый объём. Да и сам этот объём может быть абсолютно произвольным. Под классом Фреге понимает любую совокупность элементов, имея в виду, что элементы не специфицированы, т.е. они сами могут быть классами других или тех же самых элементов. Возьмём, например, приведённый выше пример с классами {a, b, c} и {a, b, g}. Поскольку на образование классов не накладывается никаких ограничений, каждый из элементов второго класса может быть, в том числе, классом, составленным из элементов первого класса. Скажем, элемент a может представлять собой класс {a, b, c}.

В этом случае второй класс представлял бы собой {{a, b, c}, b, g}, где первый элемент полностью соответствует первому классу. Аналогичное относится и к другим элементам как второго, так и первого класса. При предлагаемом Фреге определении числа это оказывается безразличным, поскольку взаимно однозначное соответствие элементов сохраняется. Более того, такой подход к образованию классов, при экстенсиональной трактовке определения числа, является крайне важным, поскольку классы, образованные из элементов предыдущего класса, должны принадлежать последующему классу для того, чтобы сохранить бесконечность ряда.

В том же самом смысле, в котором при экстенсиональном подходе классы могут быть совокупностями любых элементов, произвольными при интенсиональном подходе оказываются и функции, областью определения которых могут оказываться как аргументы, так и функции от аргументов, которые рассматриваются как способ задания классов, поскольку каждый класс является областью определения некоторой функции, которая для элементов данного класса задаёт значение ‘истина’. Допустим, что функция fx задаёт в указанном выше смысле класс {a, b, c}, являющийся её областью определения в том смысле, что каждому аргументу из этого класса она задаёт значение ‘истина’. Но дело в том, что каждый аргумент может представлять собой сложное образование, например заданный некоторой функцией класс {a, b, g}, соответствующий элементу a из предыдущего класса. Тогда, поскольку a есть {a, b, c}, оказывается, что

1. Программа логицизма, теория Витгенштейна и задача Рамсея в качестве одного из своих возможных аргументов fx имеет само себя, т.е. допустимо выражение f(f х ), задающее объём такого понятия, которое, в качестве подпадающего под него элемента допускает свою собственную область определения.

Таким образом, оказывается, что как при экстенсиональном, так и при интенсиональном подходах, которые важны при определении общего понятия числа и определении конкретных чисел, в некоторых случаях класс может быть элементом самого себя, а функция своим собственным аргументом. Но как раз здесь и возникает противоречие, которое обнаружил Рассел и которое зависит от подобного способа построения классов и функций, если мы допускаем, что класс может быть элементом самого себя, а функция своим собственным аргументом. Ни экстенсиональный, ни интенсиональный подход к определению числа не оказывается свободным от противоречий.

1.4.2. Парадокс Рассела и простая теория типов Разделим все классы на нормальные и ненормальные. Под нормальными классами будем понимать такие классы, которые не содержат самих себя в качестве элементов. Например, класс чайных ложек сам не является чайной ложкой, и, значит, он – нормальный. Но вот класс предметов, не являющихся чайными ложками, сам не является чайной ложкой и, значит, содержит сам себя в качестве элемента, являясь ненормальным классом. В этом же смысле можно говорить о нормальных и ненормальных функиях или предикатах, определяющих соответствующие классы.

Теперь возьмём класс всех нормальных классов и зададим вопрос, а каким, нормальным или ненормальным, является сам этот класс.

При любом ответе на этот вопрос мы приходим к противоречию.

В экстенсиональных терминах Рассел формулирует свой парадокс следующим образом:

Пусть w – это класс всех тех классов, которые не являются элементами самих себя. Тогда, каким бы ни был класс х, ‘х есть w’ эквивалентно ‘х не есть х’. Поэтому, если х придать значение w, то ‘w есть w’ эквивалентно ‘w не есть w’ [27. С. 22].

Этот парадокс формулируется также и интенсионально в терминах функций. Так, в письме к Фреге Рассел пишет:

38 Ф.П. Рамсей и программа логицизма Вы утверждаете, что функция может быть неопределяемым элементом. Я тоже так считал, но теперь этот взгляд кажется мне сомнительным из-за следующего противоречия: Пусть w будет предикатом ‘быть предикатом, не приложимым к самому себе’. Приложим ли w к самому себе? Из любого ответа вытекает противоречие.

Стало быть, мы должны заключить, что w не является предикатом.

Также не существует класса (как целого) тех классов, которые, как целое, являются членами самих себя. Отсюда я заключаю, что при определённых обстоятельствах определяемое множество не образует целого [58. P.130].

Необходимо отметить, что в рамках теории множеств, развиваемой Г. Кантором, парадокс Рассела не был первым, хотя остальные парадоксы и были менее известны. Здесь достаточно упомянуть парадокс Бурали-Форти, касающийся ординального числа всех ординальных чисел, или парадокс Кантора относительно кардинального числа класса всех кардинальных чисел [27, С. 23]. Парадоксы Кантора и Бурали-Форти касались бесконечных множеств, поэтому казалось, что подобные противоречия связаны с неправильной трактовкой бесконечности и могут быть преодолены её соответствующей интерпретацией. Парадокс Рассела показал, что дело не в бесконечности, парадоксы могут быть сформулированы в самых простых понятиях.

Для программы логицизма в фрегеанской трактовке парадокс Рассела был фатальным. Действительно, это противоречие важно как минимум тем, что оно было сформулировано в терминах теории конечных классов, которая рассматривалась как связующее звено логики и математики. Оказалось, что противоречия обнаруживаются не только в тех областях математики, которые затрагивают бесконечные множества. Парадокс Рассела показывает, что дело не в порядке с самыми простыми понятиями, если они приняты некритически. Определение числа у Фреге демонстрирует, каким образом, начиная с теории конечных классов, можно свести математику к логике, поскольку конечный класс всегда можно отождествить с объёмом понятия. Но если и здесь есть противоречия, то либо неверна математика, либо отказывают наши познавательные установки, формальным выражением которых является обычно принимаемая логика.

Рассел никогда не сомневался в двух вещах: во-первых, математика верна; во-вторых, верен метод логицизма, т.е. предложенный Фреге проект выведения математики из логики. Из этих двух полоПрограмма логицизма, теория Витгенштейна и задача Рамсея жений может следовать только то, что неверной является обычная трактовка логики. Что здесь не удовлетворяет Рассела? Обычная логика, как традиционная (субъектно-предикатная), так и созданная Фреге истинностно-функциональная, исходит из того, что подлежащим высказывания может быть всё что угодно. Рассел же считает, что это не так. Своё несогласие он впервые выражает в книге Основания математики (1903)1, формулируя теорию типов, считая, правда, приведённую здесь формулировку «лишь черновым наброском». Впоследствии этот набросок получил название простой теории типов.

Конструктивная часть этой теории сводится к ограничениям на построение определённых объектов и запрету рассматривать их как аргументы соответствующих пропозициональных функций.

В терминах классов простую теорию типов можно описать следующим образом. Типы образуют иерархическую систему логических элементов, в которой необходимо строго различать классы и то, что их образует. Элементы класса всегда относятся к типу, низшему, чем сам класс. Так, если a, b, g суть элементы, относящиеся к типу n, то образованные из них классы {a}, {a, b}, {b, g}, {a, b, g} и т.д.

будут относиться к типу n + 1. Низшим типом логических элементов Рассел считает индивиды, понимаемые как единичные, самостоятельно существующие предметы. Следующий логический тип образуют классы, составленные из индивидов; затем идут классы, образованные из классов, составленных из индивидов, и т.д. Пусть a, b, c … – индивиды, относящиеся к типу 1, тогда классы {a}, {a, b}, {a, b, c} … образуют второй тип, классы {{a}}, {{a}, {b, c}}, {{a, b}, {a, b, c}, {c}} … – третий тип и т.д.

Рассел формулирует следующее ограничение на образования подобных объектов: В рамках одного типа нельзя образовывать классы, которые состоят из элементов, относящихся к разным типам.

С этой точки зрения незаконными образованиями являются конструкции типа {a, {b, c}}, {a, {b, c}}, {a, {b, c}, {{a, b}, {a, b, c}}} и т.п. Данное ограничение действительно предотвращает источник парадокса, так как оно запрещает образовывать классы, являющиеся элементами самих себя. В этом смысле понятие ненормального класса является незаконно образованным.

Поскольку каждый класс задаётся с помощью функций, это решение легко воспроизвести и на этом уровне. Индивиды, т.е. элеСм. в этой работе ‘Приложение В’, русский перевод [23. С. 123–129].

40 Ф.П. Рамсей и программа логицизма менты первого типа, являются аргументами функций, относящимся ко второму типу; сами эти функции могут быть аргументами функций следующего типа и т.д. В данном случае ограничение касается запрета образовывать функции, аргументами которых являются функции того же самого типа. Следовательно, точно так же, как класс не может быть своим собственным элементом, так и функция не может быть своим собственным аргументом, т.е. конструкции типа f(f х ) являются незаконными.

Простая теория типов блокирует парадокс Рассела в различных его формулировках, рассматривая конструкции, на которых он основан, бессмысленными образованиями. Более того, в рамках простой теории типов нельзя воспроизвести парадоксы Бурали-Форти, Кантора и им подобные, поскольку каждый из них основан на допущении, что класс может быть своим собственным элементом. Казалось, математика, основанная на теории классов и далее на логике, при заданных ограничениях спасена. Но для Рассела простая теория типов действительно оказалась лишь черновым наброском.

1.4.3. Принцип порочного круга, определимые классы и разветвлённая теория типов Прежде, чем перейти к дальнейшему развитию теории типов, следует указать, чем не удовлетворял Рассела её первый вариант. В качестве узловых укажем две причины:

1. Наличие других парадоксов, которые не разрешались простой теорией типов.

2. Неудовлетворенность понятием класса, которое Рассел стремится рассматривать как производное, а не как исходное, что связано с преимуществами интенсионального, а не экстенсионального подхода к совокупностям предметов.

Интересно то, что обе эти причины оказались связанными настолько тесно, что указать, которая из них послужила источником разветвлённой теории типов, практически невозможно. И тем не менее мы начнём с первой, поскольку она имеет объективный исторический источник, тогда как вторая укоренена в философских представлениях собственно Рассела.

Парадоксы, имеющие логический характер, т.е. основывающиеся на форме и истинностном значении высказываний, были известны

1. Программа логицизма, теория Витгенштейна и задача Рамсея давно. Самым старым из таких противоречий является так называемый ‘парадокс Лжеца’. Допустим, кто-то говорит: «Я сейчас лгу».

Попытка оценить истинность и ложность этого высказывания при любом ответе приводит к противоречию. Если оно истинно, то в силу выраженного им содержания его значение является ложным; если же оно ложно, то отрицает своё собственное содержание и, стало быть, является истинным. В рамках простой теории типов этот парадокс не разрешим.

Не разрешимы в рамках простой теории типов и многие другие противоречия, например парадоксы Дж. Берри, Дж. Ришара, К. Греллинга1. Все они имеют одну отличительную особенность, которую мы рассмотрим ниже в связи с классификацией парадоксов Ф. Рамсеем. Пока же в качестве примера остановимся на ‘парадоксе Греллинга’, который формулируется следующим образом: Разделим все слова обычного языка на два класса гетерологические и автологические, руководствуясь принципом, что признак гетерологичности означает, что слово не применимо к самому себе, а его автологичность указывает, что оно характеризует, в том числе, и само себя.

Например, слово ‘односложный’ не является односложным, поэтому оно гетерологично, тогда как слово ‘многосложный’ – само многосложно и, стало быть, является автологичным. Рассмотрим теперь слово ‘гетерологический’ и зададим вопрос, к какому из указанных классов принадлежит само это слово. Любой ответ приводит к противоречию, поскольку, если оно – гетерологическое, то среди своих значений должно иметь само себя, и, следовательно, являться автологическим, а если автологическое, то в качестве своего значения должно указывать на гетерологичность, и, следовательно, является гетерологическим.

С точки зрения Рассела все парадоксы, возникающие в процессе рассуждения и затрагивающие значение используемых в рассуждении терминов, связаны с неправильной логикой. Таковыми являются как парадокс Греллинга, так и парадоксы, указанные в предыдущем параграфе. Раз они имеют один и тот же источник, значит, они должны иметь одинаковое решение. Это решение результируется в так называемой разветвлённой теории типов, которая получает оформление в основополагающей статье Рассела «Математическая логика, основанная на теории типов» (1908 г.), идеи которой были развиты в PM. Источник парадоксов Рассел находит в их «общей Подробнее о парадоксах этой группы см., например, [43. С. 20–23].

42 Ф.П. Рамсей и программа логицизма характеристике, которую мы можем описать как самореферентность или рефлексивность», заключающуюся в том, что «в каждом противоречии нечто говорится о всех случаях некоторого рода, и из того, что говорится, по-видимому, производится новый случай, который как относится, так и не относится к тому же самому роду, что и те случаи, все из которых рассматривались в том, что было сказано» [27. С. 24].

Действительно, если мы обратимся к приведённым парадоксам, то все они указывают на общность, которая в качестве элемента включает предмет исходной формулировки. Так, ‘парадокс Рассела’ в класс классов, не имеющих себя в качестве элементов, включает сам себя; ‘парадокс Лжеца’ в общность оцениваемых высказываний включает само высказывание об оценке; ‘парадокс Греллинга’ рассматривает термины, в которых производится различие на классы выражений, как включённые в сами эти классы. Аналогичные замечания относятся и к другим упомянутым парадоксам.

Впрочем, этот источник одним из первых указал А. Пуанкаре1.

Из этого источника вытекает и принцип решения парадоксов. Формулируя этот принцип, и характеризуя его как ‘принцип порочного круга’, Рассел говорит, что он приводит нас к правилу: ‘То, что включает всё из совокупности, не должно быть элементом совокупности’; или, наоборот: ‘Если определённая совокупность, при условии, что она обладает целостностью, имела бы элементы, определимые только с точки зрения этой целостности, то эта совокупность не обладает целостностью’ [27.

С. 25–26], подразумевая, что всё то, что нарушает это правило, является бессмысленным.

В данной формулировке этот принцип является чисто отрицательным, поскольку он не даёт критерий, какие конструкции считать осмысленными. Положительный критерий задаётся в рамках разветвлённой теории типов, но допустимые в ней конструкции зависят от представлений Рассела о том, как можно задать совокупность, общность или класс элементов, выступающих подлежащим какогото высказывания. Это требует рассмотрения второй из указанных выше причин дальнейшего развития теории типов.

См., например, [15. С. 374–378].

1. Программа логицизма, теория Витгенштейна и задача Рамсея Существенную роль здесь имеет ряд соображений, имеющих сугубо философский характер. Учитывая эту особенность, будем отталкиваться от работы Рассела «Введение в математическую философию» (1918 г.), в которой наиболее рельефно подчёркивается этот аспект. Там говорится буквально следующее:

Класс или совокупность могут быть определены двумя способами, которые кажутся совершенно отличными друг от друга. Мы можем пронумеровать все его члены … или же я могу упомянуть определяющее свойство … Определение, которое перечисляет, называется ‘экстенсиональным’ определением, а то, которое упоминает определяющее свойство, называется ‘интенсиональным’. Из этих двух определений интенсиональное является логически более фундаментальным. (1) Экстенсиональное определение может быть всегда сведено к интенсиональному, и (2) интенсиональное определение не может быть, часто теоретически, сведено к экстенсиональному [25. С. 77].

В контексте предыдущих замечаний это означает: Класс философов мы, например, можем задать перечислением, указав, что к тому классу относятся Сократ, Платон, Аристотель и т.д. Подобный экстенсиональный способ задания класса – работа не только кропотливая, но и неблагодарная, поскольку всегда можно пропустить элемент, который должен входить в этот класс. Работа историков философии, особенно древней философии, постоянно демонстрирует эту возможность. Действительно, простое перечисление характеризуется тем недостатком, что какой-то из элементов может быть пропущен. Здесь мы уже и не говорим, что перечисление нельзя применить для необозримых классов и, тем более, для классов бесконечных. Даже если предположить, пусть и не бесконечное, но достаточно продолжительное существование человеческого рода, мы не сможем экстенсионально определить класс философов, который, как и человеческий род, может оказаться как необозримым, так и бесконечным.

Из подобного рода соображений Рассел делает вывод, что гораздо удобнее, и более правильно, задавать класс через определяющее свойство, т.е. интенсионально, которое принадлежит его элементам.

Как бы мы ни понимали свойство ‘быть философом’, оно однозначно задаёт совокупность имеющих его элементов. В этом отношении свойство первичнее класса, поскольку свойству всегда соответствует класс, тогда как не всегда возможно задать класс с тем, чтобы не указать свойство, которому удовлетворяли бы все его элементы, и 44 Ф.П. Рамсей и программа логицизма только они. В этом отношении Рассел считает, что свойство, задающее класс, является более фундаментальным, чем общность образующих этот класс элементов.

Здесь следует отметить ещё один момент, имеющий непосредственное отношение к собственно философским представлениям Рассела. У него не вызывает сомнение наличие самостоятельно существующих (или, в его терминологии, сабсистентных) вещей, гораздо хуже дело обстоит с образованными из них классами. Если существование Сократа, Платона и Аристотеля подтверждено опытом, то существование состоящего из них класса вывести из опыта нельзя.

Классы являются результатом абстракции, а потому для Рассела представляют собой фикции, т.е. производные от элементов образования, которые мы можем создать, основываясь на общем свойстве последних. И действительно, в непосредственном знакомстве нам никогда не может быть дана общность {Сократ, Платон, Аристотель, …}. Например, если нам известна конкретная берёза, конкретный дуб, конкретная сосна и т.д., это ещё не означает, что мы ориентируемся в лесу, который они образуют, хотя это и может быть так.

Но с философами дело обстоит сложнее. Этот класс, при здравом размышлении, всегда отличается неполнотой или неизвестным нам разнообразием.

Обобщая данный пример, можно сказать, что для Рассела понятие о произвольной совокупности элементов менее понятно, чем понятие о некотором задающем эту совокупность свойстве 1.

Так, если класс людей, являющихся философами, через перечисление задать трудно, то задать его же через указание свойства ‘быть философом’ удобно, поскольку этому свойству будут удовлетворять не только те элементы, о которых нам известно, но и те, которые мы пропустили, и даже те, которые могут появиться в будущем. Таким образом, при объяснении общностей или классов, исходными являются не классы и индивиды, из которых они состоят, но свойства и индивиды, которые ими обладают. ДругиЗдесь сошлёмся на мнение У. Куайна, с которым в данном случае нельзя не согласиться: «Философски Рассел предпочитал свойства и полагал, что, контекстуально определяя классы на основании теории свойств, он объясняет смутное с точки зрения более ясного. Но это его ощущение объяснимо тем, что у него отсутствует различение пропозициональных функций как предикатов, или выражений, и пропозициональных функций как свойств. Не сумев сделать этого различия, он легко мог посчитать, что понятие свойства яснее, чем понятие класса, который представлен предикатом. Но понятие свойства как раз и менее ясно» [76. P. 256].

1. Программа логицизма, теория Витгенштейна и задача Рамсея ми словами, первичными для Рассела являются не классы, но свойства, которыми могут обладать индивиды и которые задают соответствующий класс.

Интенсиональное задание классов особенно важно в связи с определением чисел.

Как считает Рассел экстенсиональный подход здесь не подходит минимум в трёх отношениях:

Во-первых, числа сами образуют бесконечную совокупность и не могут, следовательно, быть определены перечислением. Вовторых, совокупности, имеющие данное число терминов, сами, по предположению, образуют бесконечную совокупность… В-третьих, мы должны определить ‘число’ таким образом, чтобы были возможны бесконечные числа [25. С. 78].

Действительно, даже если использовать фрегеанский подход к определению числа, то бесконечную совокупность конструкций типа ‘, {}, {, {}}, {, {}, {, {}}}...’ нельзя задать перечислением. Её можно задать лишь через указание порождающего её свойства, как и поступает Фреге, использующий функцию ‘x x’ для задания первого элемента данного ряда. Более того, каждому из элементов этой конструкции во взаимно однозначное соответствие может быть сопоставлена бесконечная общность классов, характеризующихся равночисленностью элементов. Так, числу два соответствует не только класс спутников Марса, но и класс афинских тираноборцев, класс биологических родителей данного ребёнка и т.д. вплоть до бесконечности. Перечислить такие классы за конечное число шагов невозможно, их можно лишь задать через определяющее свойство, а именно свойство ‘иметь заданное количество элементов’, что уже предполагает определение числа в указанном двумя предложениями выше первом отношении. Ситуация ещё более осложняется, если мы переходим к попытке определить бесконечные числа. Как мы видели, весьма затруднительно задать бесконечную совокупность классов с конечным количеством элементов, но если и элементов оказывается бесконечность, то, как считает Рассел, выход один – указать определяющее свойство, поскольку мы должны быть способны говорить о числе терминов в бесконечной совокупности, и такая совокупность должна определяться интенсионально, т.е. через свойство, общее всем её членам и свойственное только им [25. С. 78].

46 Ф.П. Рамсей и программа логицизма Следуя Расселу, получается, что о классах вообще, конечных или же бесконечных, мы можем говорить только тогда, когда известно определяющее эти классы свойство. В этом отношении свойство является более примитивным элементом, чем класс, и именно оно должно рассматриваться в качестве исходного. Эту мысль Рассел проводит и на уровне функций. Определяющему свойству всегда соответствует пропозициональная функция, областью значения которой является истина, когда аргументами выступают элементы определимого данным свойством класса. В символике PM Рассел подчёркивает эту близость, обозначая свойство, соответствующее функции fx как f х, когда необходимо говорить о самом свойстве, которое может выступать аргументом другой функции.

Итак, определяющие свойства и, стало быть, функции по отношению к классам первичны, это как раз и приводит к разветвлённой теории типов. Всё дело в том, что один и тот же класс можно задать с помощью различных пропозициональных функций. Так, например, примем допущение, что философы, и только они, являются мудрецами. Тогда функции ‘x – философ’ и ‘х – мудрец’ будут выполняться для одних и тех же аргументов и, следовательно, определять один и тот же класс. С точки зрения простой теории типов эти две функции будут относиться к одному и тому же типу, и мы можем обозначить их как fx и gx. Но с другими случаями дело обстоит не так просто. Возьмём два высказывания: «Сократ – философ» и «Сократ имеет все свойства философа». Первое из них образовано из функции вида fx, но относится ли к такому виду второе? Отметим, что во втором высказывании присутствует выражение ‘все’, указывающее на некоторую общность, правда, общность не индивидов, но свойств. Тем не менее это выражение относится к логическим элементам конструкции и при неверном подходе может привести к тем самым рефлексивным недоразумениям, о которых говорилось выше.

В высказывании «Сократ имеет все свойства философа» функция, место индивидной переменной в которой занимает Сократ (т.е. функция ‘х имеет все свойства философа’), включает ещё одну переменную, которая пробегает по свойствам философа, какими бы мы себе их ни представляли. Например, её место могут занимать такие признаки, как честность, стремление идти до конца, логичность и т.п. Таким образом, исходная функция, пробегающая по индивидам, включает ещё одну функцию, область пробега которой представляет собой класс свойств. Правда, здесь следует учитывать,

1. Программа логицизма, теория Витгенштейна и задача Рамсея что индивидная переменная и переменная свойств играют в исходной функции разную роль.

Это различие связано с тем, что Рассел называет действительной и мнимой (или кажущейся) переменной. Действительная переменная предполагает какое-то значение, которое может изменяться, и с его изменением будет меняться и всё высказывание. Кажущаяся же переменная не предполагает изменение высказывания, поскольку рассматриваются все её возможные значения. Следуя Расселу, если fх – пропозициональная функция, то посредством ‘(x).fx’ мы будем обозначать пропозицию ‘fх всегда истинно’. Сходным образом ‘(x, y).f(x, y)’ будет обозначать ‘f(х, у) всегда истинно’ и т.д. Тогда различие между утверждением всех значений и утверждением какого-то значения есть различие между (1) утверждением (х).fх и (2) утверждением fх, где х не определён. Последнее отличается от первого тем, что оно не может трактоваться как одна определённая пропозиция [27. С. 28–29].

В нашем примере роль действительной переменной играет индивидная переменная, поскольку замена Сократа на другие индивиды будет приводить к изменению высказывания, но переменная, указывающая на свойства, подразумевает их все, и, стало быть, пробег этой переменной никакого влияния на высказывание не оказывает.

Здесь имеется в виду, что для любого свойства, если оно является свойством философа, то Сократ им обладает. Поэтому, функция ‘х имеет все свойства философа’ должна рассматриваться как (f).f(f х, x), где f х пробегает по свойствам философов и является мнимой (кажущейся) переменной, а x – действительной переменной.

Для Рассела очевидно, что конструкция типа (f).f(f х, x) (далее будем обозначать её как Fx) существенно отличается от конструкций типа fx, хотя они и могут задавать один и тот же класс.

Здесь необходимо обращать внимание не только на тип аргумента, как было в простой теории типов, но и на порядок функции, который определяется структурными элементами, из которых она построена. Функции ‘х – философ’ и ‘х имеет все свойства философа’ относятся к разным порядкам, поскольку вторая из них, помимо действительной индивидной переменной, включает переменную, хотя и мнимую, относящуюся к другому типу, чем тип индивидной переменной.

Рассел следующим образом разводит порядки:

48 Ф.П. Рамсей и программа логицизма Функция, аргументом которой является индивид и значением которой всегда является пропозиция первого порядка, будет называться функцией первого порядка. Функция, включающая первопорядковую функцию или пропозицию в качестве мнимой переменной будет называться второпорядковой функцией и т.д. [27. С. 40].

В разветвлённой теории типов при установлении порядка fx и Fx необходимо обращать внимание не только на тип аргумента х, но и на характер построения f и F. Поэтому, несмотря на сходство аргументов, функции fx и Fx относятся к разным порядкам.

Таким образом, различие между простой и разветвлённой теорией типов состоит в следующем. Как указывалось выше, для различения типов функций в простой теории типов достаточно установить различие в типе их аргументов. В разветвлённой теории типов различие функций определяется к тому же порядком мнимых переменных, используемых при их построении. Поэтому, если с точки зрения простой теории типов fx и Fx относятся к одному и тому же типу, то в разветвлённой теории типов они относятся к разным порядкам, поскольку при их построении используются разные типы аргументов. В данном случае, если индивиды относятся к типу 0 и х – индивидная переменная, то fx и Fx – к типу 1, но при этом fx относится к порядку 1, а Fx – к порядку 2.

Согласно порядку функций, соответствующую иерархию образуют и построенные из них высказывания. Элементарные высказывания (т.е. атомарные высказывания плюс истинностные функции атомарных высказываний) в совокупности с высказываниями, содержащими в качестве мнимых переменных только индивидные переменные, образуют первый логический тип. Высказывания, в качестве мнимых переменных включающие высказывания и функции первого логического типа, образуют общность, относящуюся ко второму логическому типу и т.д. В общем случае, высказывания, включающие в качестве мнимых переменных высказывания и функции типа n, образуют общность типа n+1.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
Похожие работы:

«Открытый урок в 4В классе. Предмет математика УМК Школа России Тема: Нахождение нескольких долей целого. Цель: Повторить понятие доля, показать как находить доли целого и применять в решении задач.Задачи: Образовательная: 1. Учить алгоритму нахождения нескольких долей целого и применять его в решении задач.Развивающ...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Известия высших учебных заведений ФИЗИКА ЕЖЕМЕСЯЧНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ Издается с января 1958 г. Том 57 Ноябрь № 11/3 ПУЧКИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ PARTICLE...»

«Неделя Физтеха (25.10.2004) Редакция приносит извинения за неверный прогноз погоды в прошлом выпуске. Пятница отмечена ясным небом и сухими тротуарами. Был хороший повод убрать горы опавших листьев. В этот же день 15 октяб...»

«© Р.К. Халкечев, К.В. Халкечев, 2016 Р.К. Халкечев, К.В. Халкечев УДК 004.9; 004.41; МАТЕМАТИЧЕСКОЕ 51–74; 622 МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ПО ДЕФОРМИРОВАНИЮ И РАЗРУШЕНИЮ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ГЕОМАТЕРИАЛОВ В ОПЫТАХ НАД МАКРООБР...»

«Пояснительная записка Авторы-составители: И.Г. Малышев, доцент кафедры теории и методики обучения математике НИРО, канд. техн. наук, доцент М.А. Мичасова, доцент кафедры теории и методики обучения математике НИРО, канд. пед. наук Нижний Новгород,2010г. Данный курс выполняет функцию поддержки основных курсов цикл...»

«Дата последней редакции APRIL 2013 Редакция 6 ПАСПОРТА БЕЗОПАСНОСТИ ВЕЩЕСТВ И МАТЕРИАЛОВ Смазка для контактов 2GX 1 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ХИМИЧЕСКОЙ ПРОДУКЦИИ И СВЕДЕНИЯ О ПРОИЗВОДИТЕЛЕ ИЛИ ПОСТАВЩИКЕ 1.1. Идентификация продукта Смазка для контактов 2GX Наименование продукта SGB-b, ESGB01K, ESGB0...»

«Муниципальное общеобразовательное учреждение гимназия № 7 г. Балтийск Принята "Утверждаю" на НМС Директор МБОУ гимназии №7 г. Балтийска Протокол №1 от 28.08.15 "31" августа 2015г. Е.Н. Макарова _Н.И. Федорова РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ 2 КЛАСС ПРОГРАММА: МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Под редакци...»

«СТАТИСТИЧЕСКАЯ И ЛОГИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Сальникова Ю.Е. Университетский колледж ОГУ Оренбург, Россия STATISTICAL AND LOGICAL PROBABILITY Salnikova Y.E. University College OSU Orenburg, Russia Исследование вероятности...»

«Уравнение Фоккера-Планка Класс траекторно-сосредоточенных функций КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ АСИМПТОТИКИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА-ПЛАНКА А.В. Шаповалов, А.Ю. Трифонов Методы современной математики для инженеров Лекция...»

«ЛИСТ ДАННЫХ ПО БЕЗОПАСНОСТИ В соответствии со статьй 31 и Дополнением II Правил EU REACH Версия: 1.2 Дата ревизи: 04.12.2007 SILASTIC(R) T-4 CURING AGENT 1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ СУБСТАНЦИИ/ПРЕПАРАТА И КОМПАНИИ/ПРОВОДЯЩЕЙ : SILASTIC(R) T-4 CURING AGENT Торговое наименование : Dow Corning S.A. Компания rue Jules Bordet Parc Industriel Zo...»

«ФИЗИКА СЕГНЕТОЭЛЕКТРИКОВ СОВРЕМЕННЫЙ ВЗГЛЯД Karin M. Rabe, Charles H. Ahn, Jean-Marc Triscone (Eds.) Physics of Ferroelectrics A Modern Perspective With 129 Figures and 24 Tables ФИЗИКА СЕГНЕТОЭЛЕКТРИКОВ СОВРЕМЕННЫЙ ВЗГЛЯД Под редакцией К. М. Рабе, Ч. Г. Ана, Ж. -М. Три...»

«Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Средняя школа № 37" города Смоленска Рабочая программа по химии 10 класс (ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ) Пояснительная записка Рабочая программа по х...»

«КРЕЧЕТОВ Алексей Викторович СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ, ЭЛЕКТРОННЫЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА УГЛЕРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ НА ОСНОВЕ ФУЛЛЕРИТА И АЛМАЗА Специальность 01.04.09 Физика низких температур Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук _ МОСКВА – 2007 Работа выполнена на...»

«Данилин Александр Николаевич Профессор, доктор физико-математических наук Наш профессор Лет пять назад, ожидая Владимира Ивановича у двери преподавательской комнаты, я услышал разговор группы студентов. Оди...»

«1957 г. Июнь Т. LX/I, вып. 2 УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК ПРОБЛЕМА "ФИЗИЧЕСКОЙ РЕАЛЬНОСТИ" В КОПЕНГАГЕНСКОЙ ШКОЛЕ С Г. Суворов 1. В этом выпуске публикуется перевод философской статьи выдающегося физика Макса Борпа — "Физическая реальность". Эта статья заслужппаот пристального внима...»

«БУЛУЧЕВСКИЙ ЕВГЕНИЙ АНАТОЛЬЕВИЧ СТАТИКА И ДИНАМИКА СОРБЦИИ ВОДЫ ПРИ ОСУШКЕ УГЛЕВОДОРОДНЫХ ЖИДКОСТЕЙ НА КОМПОЗИТНОМ МАТЕРИАЛЕ CaCl2/Al2O3 02.00.04 – физическая химия АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата химических наук Тюмень – 2011 Работа выполнена в учреждении Российской ака...»

«Раздел 1. Пояснительная записка Человечество ценит математику за ее прикладное значение, за общность и мощь ее методов исследования, за действенные прогнозы при изучении природы и общества. Понятие практической задачи имеет основанием...»

«ПАРАЗИТОЛОГИЯ, XX, 6, 1 9 8 6 У ЦК 576,895.121 : 591.4 УЛЬТРАСТРУКТУРА РЕЦЕПТОРНЫХ ОКОНЧАНИЙ ЦИКЛОФИЛЛИДЕЙ (CESTODA, CYCLOPHYLLIDEA) Л. Т" Плужников, Г. П. Краснощекое, В. В. Поспехов Изучена ультрастру...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО "Нижневартовский государственный университет" Естественно-географический факультет Приложение 2 к Рабочей программе дисциплины Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины Б1.Б.10 Физика Вид образования: Профе...»

«Теория вероятностей и математическая статистика_ДЛЯ ДНЕВНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ_2012-13 уч.год Тема 1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей В формуле полной вероятности событие А является следствием одного из событий Bi (i 1, n). События Bi обязательн...»

«IV Всероссийская научно-практическая конференция "Научная инициатива иностранных студентов и аспирантов российских вузов" трудности, Гурген стал очень много времени проводить за изучением явлений в этой области, общался на эту тему. Вскор...»

«ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2011 Прикладная теория графов №4(14) УДК 519.17 КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ОЦЕНКИ НЕКОТОРЫХ СВЯЗНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРЕДФРАКТАЛЬНЫХ ГРАФОВ1 А. А. Кочкаров, Л. И. Се...»








 
2017 www.kniga.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.