WWW.KNIGA.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Онлайн материалы
 

«А. В. Пономаренко, Б. М. Каштан ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УПРУГИХ ВОЛН С ТРЕХМЕРНЫМ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИМ ОБЪЕКТОМ Введение Одной из главных прикладных задач сейсмических ...»

82 Вопросы геофизики. Выпуск 44. СПб., 2011 (Ученые записки СПбГУ; № 444)

А. В. Пономаренко, Б. М. Каштан

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УПРУГИХ ВОЛН

С ТРЕХМЕРНЫМ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИМ ОБЪЕКТОМ

Введение

Одной из главных прикладных задач сейсмических исследований является поиск и

оконтуривание объемов среды, которая может содержать те или иные полезные ископаемые. Физическая нелинейность связана с такими характеристиками горных пород, как неоднородность, пористость, трещиноватость. Резервуары углеводородов, являющиеся двух- и трехфазными средами, обладают нелинейными свойствами, которые проявляются в наблюдаемых полях [13]. Поэтому изучение нелинейных эффектов при сейсмических исследованиях представляет большой практический интерес. По таким эффектам, как отсутствие принципа суперпозиции, присутствие дополнительных гармоник в волновом поле, зависимость структуры поля от его интенсивности, можно судить о наличии нелинейности в тех средах, где распространялось это поле.

В литературе можно найти много статей о свойствах волн, взаимодействующих друг с другом в нелинейных средах [8–10, 12]. Реже встречаются работы о взаимодействии упругих волн с объектами, обладающими нелинейными свойствами [5, 7, 11]. Практически неосвещенным остается процесс взаимодействия волн, излучаемых одним источником, с объектом, который обладает нелинейными свойствами [6].

При взаимодействии плоских волн с границей между линейно-упругой и нелинейноупругой средами порождаются отраженные волны, которые можно назвать нелинейными, а проходящее в нелинейную среду волновое поле изменяется, в него добавляются нелинейные волны [5].



Аналогично при взаимодействии упругих волн с трехмерным нелинейным объектом порождается рассеянное нелинейное поле. В статье [7] изучается взаимодействие в нелинейной области двух сферических волн от разных источников и построены диаграммы рассеяния для волны разностной частоты от нелинейной области, имеющей форму куба.

В настоящей работе рассматривается вопрос о взаимодействии упругих волн от одного источника с трехмерным нелинейно-упругим объектом. В качестве формы объекта выбран шар, а источника сейсмических волн источник типа направленной силы. Исследуется структура рассеянного поля. Проведено сравнение рассеяния на нелинейноупругом объекте и на линейном объекте, обладающем другой плотностью. Показано, что качественно рассеяние на малом (по сравнению с длиной волны) объекте аналогично рассеянию на элементарном рассеивателе.

Решение задачи о взаимодействии основывается на решении уравнения движения методом малого параметра (методом возмущения) и построения при помощи функции Грина линейного уравнения.

c А. В. Пономаренко, Б. М. Каштан, 2011 Взаимодействие упругих волн с трехмерным нелинейно-упругим объектом 83

1. Построение расчетных выражений На рис. 1 показана постановка рассматриваемой задачи. Источник типа

–  –  –

Будем искать решение задачи в дальней волновой зоне в предположении, что рассеивающая область и приемник расположены достаточно далеко от источника: так, что выполняются неравенства R, r1, r. В дальней волновой зоне решение уравнения (3) принимает вид [2]

–  –  –

Рассмотрим применение вышеописанного метода к конкретному примеру. Пусть источник типа силы находится в точке с координатами (60 м; 0 м; 0 м), приемник расположен в точке с координатами (20 м; 10 м; 10 м), частота сигнала в источнике 200 Гц, радиус нелинейного шара равен 2 м.





Исследуем структуру первой компоненты прямого и рассеянного полей (остальные компоненты аналогичны ввиду произвольного выбора схемы наблюдения). На рис. 2, а представлена x-компонента прямого поля, а на рис. 2, б рассеянного от нелинейной сферы. Амплитуда рассеянного поля, нелинейной добавки, значительно меньше амплитуды прямого поля вследствие малых амплитудных множителей в выражении рассеянного поля. Из-за наличия в правой части уравнения (5) комбинаций произведения первых и вторых производных прямого поля амплитуда рассеянного поля имеет квадратичную зависимость от амплитуды сигнала в источнике. Например, при уменьшении амплитуды силы в источнике в 2 раза амплитуда рассеянного поля уменьшается в 4 раза.

Рис. 2. x-компонента прямого поля (а) и нелинейной составляющей (б )

Несмотря на малость амплитуды рассеянного поля, из сравнения времен прихода сигналов продольной и поперечной волн на рис. 2, а с временами прихода некоторых волн на рис. 2, б видно, что эти поля могут быть разделены по времени. Построим нелинейную добавку отдельно и рассмотрим ее структуру.

Рассеянное поле состоит из четырех составляющих частей [см. выражение (9)]. В самом деле от источника типа направленной силы исходят две волны продольная и поперечная. Каждая из них, взаимодействуя с рассеивающей областью, в свою очередь порождает продольную и поперечную волны. Таким образом, в рассеянном поле должны наблюдаться сигналы, которые проходили расстояние от источника до рассеивающей области и от области до точки приема как с одинаковыми, так и с различными скоростями, т. е. pp-, ps-, sp- и ss-вступления. При достаточном отличии скоростей продольной и поперечной волн легко подобрать расстояния между источником, центром рассеивающей области и приемником, чтобы разделить полученную нелинейную добавку на составляющие.

На рис. 2, б наблюдаются два сигнала, которые по временам прихода отождествляются с sp- и ss-волнами. Остается вопрос о наличии в рассеянном поле pp- и Взаимодействие упругих волн с трехмерным нелинейно-упругим объектом 87 ps-составляющих. Структура рассеянного поля такова, что кооэффициенты при продольных и поперечных членах обратно пропорциональны квадратам скоростей распространения соответствующих волн [см. формулы (4), (6) и (7)]. Таким образом, в знаменателе при p-членах стоит бльшая величина, чем при s-членах. Поэтому для о нахождения pp- и ps-составляющих следует рассмотреть отдельно область предполагаемого нахождения сигналов, увеличить масштаб. Оказалось, что pp- и ps-сигналы действительно наблюдаются на рис. 2, б.

На рис. 3 показаны сигналы с трассы на рис. 2, б, которые по временам прихода отождествлены с pp- и ps-составляющими, а на рис. 4 сигналы с трассы на рис. 2, б, которые по временам прихода отождествлены с sp- и ss-составляющими. Из-за различия в амплитудных значениях все четыре сигнала не могли быть одновременно наблюдаемыми на рис. 2, б. Амплитудный спектр каждого из четырех сигналов (рис. 5, 6) содержит дополнительный спектральный максимум по сравнению со спектром исходного сигнала, у которого центральная частота равняется 200 Гц и который содержит один спектральный максимум.

Рис. 3. pp- (а) и ps-составляющая (б ) x-компоненты нелинейной добавки

–  –  –

Рис. 6. Амплитудный спектр sp- (а) и ss-составляющей (б ) x-компоненты нелинейной добавки Покажем, что подобное изменение спектрального состава компонент рассеянного поля является показателем наличия нелинейно-упругого объекта в зоне рассеяния.

Приведем решение задачи о рассеянии упругих волн на объекте, обладающем другой плотностью по сравнению с окружающей средой на основе решения уравнения (5) c другой правой частью:

2 Ui1 2 Ul1 2 Ui1 2 Ui0 + ( + µ) +µ 2 = (1 0 ) t2. (10) t2 xl xi xk Заметим, что правая часть выражения (10) в отличие от правой части выражения (5) состоит только из вторых производных основного поля, а не из суммы комбинаций произведений первых и вторых производных. Если рассмотреть рассеяние на линейноупругом объекте, обладающем другими упругими параметрами Ламэ по сравнению с окружающей средой, то правая часть уравнения для нахождения рассеянного поля аналогично будет состоять только из вторых производных основного поля.

Найдем рассеянное поле от упругого шара, находящегося в начале координат, который обладает другой плотностью по сравнению с окружающей средой. Сравним Взаимодействие упругих волн с трехмерным нелинейно-упругим объектом 89 спектры компонент рассеянного поля со спектрами компонент поля, рассеянного на нелинейном шаре. Параметры задачи оставим прежними, изменим только параметры рассеивающего объекта: вместо нелинейных свойств он обладает другой плотностью 1 =2400 кг/м3.

Как и в случае рассеяния на нелинейном шаре, каждая компонента поля, рассеянного на шаре другой плотности, состоит из четырех составляющих pp-, ps-, sp- и ss-вступлений.

На рис. 7 показаны сигналы, которые по временам прихода отождествляются с ppи ps-составляющими, их спектры на рис. 8. На рис. 9 представлены sp- и ss-сигналы, а также их спектры на рис. 10. Формы сигналов отличаются от форм сигналов компонент поля, рассеянного на нелинейном объекте. Cпектры всех составляющих имеют лишь один крупный максимум, который смещается относительно спектрального максимума исходного сигнала в сторону более высоких частот. Это происходит вследствие того, что рассеянное поле определяется правой частью уравнения (10), в которой стоит вторая производная от формы исходного сигнала. Величина изменения плотности, так же как изменение расстояний, не вносит появление новых спектральных максимумов, Рис. 7. pp- (а) и ps-составляющая (б ) x-компоненты рассеянного поля

–  –  –

Рис. 10. Амплитудный спектр sp- (а) и ss-составляющей (б ) x-компоненты рассеянного поля возможно лишь изменение спектральной амплитуды. В случае нелинейного рассеяния из-за наличия в правой части уравнения (5) комбинаций произведения первых и вторых производных спектральный состав рассеянного поля получается более сложным, чем в линейном, содержит дополнительные спектральные максимумы. Таким образом, нелинейный (нелинейно-упругий) объект вносит качественное изменение в спектральный состав рассеянного поля по сравнению с линейно-упругим рассеивающим объектом.

3. Построение диаграмм рассеяния Ранее на основе наблюдения рассеянного поля в произвольной точке было показано, что нелинейно-упругий рассеивающий объект вносит дополнительные гармоники в спектральный состав рассеянного поля. Расположим теперь приемники на расстоянии r1 = 40 м симметрично относительно центра рассеивающей области, пусть источник типа направленной силы расположен в точке (0 м, 0 м, 60 м), направление силы выберем вдоль оси OZ (рис. 11). Проведем качественную оценку процесса рассеяния от нелинейно-упругой сферы. Для каждой точки приема можно построить временню у Взаимодействие упругих волн с трехмерным нелинейно-упругим объектом 91

Рис. 11. Симметричная схема наблюдений

трассу каждой компоненты поля. В качестве примера построим совокупность трасс третьей компоненты рассеянного поля (рис. 12, а) c точек приема a, b, c, d, e (трассы f, g, h оказались симметричны трассам d, c, e).

Рассеянное поле неоднородно по направлениям. Было показано, что составляющие прямого и рассеянного полей при достаточной разнице в скоростях волн и при достаточных выносах приходят не одновременно, поэтому можно разделить их во времени и, таким образом, провести анализ именно рассеянного поля. При выбранном направлении действия силы источника основными рассеянными волнами будут pp- и ps-волны, поскольку поперечные волны практически не взаимодействуют с рассеивающим объРис. 12. Третья компонента рассеянного поля по приемникам; сила в источнике направлена вдоль OZ (а) и оси OX (б ) 92 А. В. Пономаренко, Б. М. Каштан ектом. При расположении малого рассеивающего объекта в центре координат сила, действующая вдоль оси OZ, вызывает появление рассеянных волн, порожденных продольной падающей волной. На рис. 12, а наиболее ярко выражены на всех трассах именно pp- и ps- волны.

Чтобы основными по амплитудам были sp- и ss- волны, следует выбрать другое направление силы в источнике. Если сила направлена вдоль оси OX, с рассеивающим объектом в основном взаимодействует поперечная волна. Основными рассеянными волРис. 13. Рассеяние sp- (а) и ss-волны (б ) Взаимодействие упругих волн с трехмерным нелинейно-упругим объектом 93 нами будут теперь sp- и ss-волны (см. рис. 12, б ). Заметим, что при одинаковой амплитуде силы в источнике максимальные амплитуды sp- и ss- рассеянных волн при направлении силы в источнике вдоль оси OX на несколько порядков больше максимальной амплитуды ps-волн при направлении силы в источнике вдоль оси OZ. Это происходит опять вследствие разницы значений амплитудных кооэффициентов при продольных и поперечных членах в выражении для рассеянного поля.

Чтобы показать, как происходит рассеяние волнового поля, были построены диаграммы рассеивания sp- и ss-волн (рис. 13) при направлении действия силы в источнике вдоль оси OX. На каждом рисунке в плоскости (XZ) построены диаграммы третьей компоненты составляющей, а также ее модуля. Показаны направления распространения ns и смещения as падающей поперечной волны.

При направлении действия источника, когда на рассеивающий объект падает в основном поперечная волна, амплитуда sp- и ss-волн на несколько порядков выше ppи ps-составляющих этого же рассеянного поля и максимальных амплитуд рассеянного поля при другом направлении действия источника, когда в основном продольная волна взаимодействует с рассеивающим объектом. Несомненно, именно рассеянное поле максимальной амплитуды может быть использовано в практических целях.

Процесс рассеяния упругих волн на нелинейно-упругом рассеивающем объекте был рассмотрен в дальней волновой зоне. Характерный размер рассеивающего объекта диаметр шара равен 4 м, что почти в 2 раза меньше длины поперечной волны (7.5 м).

Однако оказывается, что диаграммы рассеяния модуля компонент поля (рис. 13) очень близки по форме к диаграммам рассеяния на очень маленьком рассеивающем объекте элементарном рассеивателе. В самом деле срезы от диаграмм рассеяния на рис. 14 по плоскости (XZ) имеют похожую форму диаграмм рис. 13. Для достаточно малых рассеивающих объектов форма рассеяния вполне может описываться формой рассеяния на элементарном объекте, что приводит к уменьшению времени вычислений.

При рассмотрении диаграмм рассеяния естесственным образом возникает вопрос, насколько отличается данный тип рассеяния от рассеяния на объектах другой природы.

Нами было показано отличие форм сигналов и их спектров при рассеянии на объектах разной природы. Оказывается, форма рассеяния на элементарном нелинейном объекте sp- и ss-волн (рис. 14) также отличается от рассеяния этих волн на элементарном объекте другой плотности (рис. 15). Подробнее о рассеянии на элементарных возмущениях упругих параметров,, µ можно ознакомиться в статье [3].

Определение нелинейного рассеивающего объекта по диаграммам рассеяния поля требует дальнейшего изучения. С практической точки зрения наиболее явным способом определения нелинейных свойств рассеивающего объекта можно считать изучение спектрального состава компонент рассеянного поля.

Заключение В настоящей работе получено численное решение задачи о рассеянии упругих волн на трехмерном нелинейно-упругом шаре в рамках метода малого параметра при помощи функции Грина линейного уравнения. Приведено решение задачи в дальней волновой зоне: расстояние от источника до рассеивающего шара и от рассеивающего шара до точки приема много больше длины поперечной волны. Значения скоростей волн и расА. В. Пономаренко, Б. М. Каштан Рис. 14. Рассеяние sp- (а) и ss-волны (б ) на элементарном нелинейном рассеивателе Рис. 15. Рассеяние sp- (а) и ss-волны (б ) на элементарном рассеивателе другой плотности стояния выбраны таким образом, чтобы разделить рассеянное поле на составляющие pp-, ps-, sp- и ss-волны.

Основные результаты связаны с исследованием структуры рассеянного поля. Оказалось, что каждая его компонента состоит из вышеупомянутых составляющих и спектр каждой такой составляющей содержит дополнительные максимумы, что, несомненно, Взаимодействие упругих волн с трехмерным нелинейно-упругим объектом 95 может быть использовано при практическом наблюдении рассеянного поля для определения нелинейных свойств рассеивающего объекта. Показано, что амплитуда рассеянного поля при взаимодействии поперечной волны с нелинейно-упругим объектом значительно выше, чем при взаимодействии продольной волны с нелинейно-упругим объектом. Построены диаграммы рассеяния sp- и ss-составляющих.

Работа выполнена при поддержке грантов АФГИР RUG1-30005-ST-08 и ГК 02.740.11.0331.

Указатель литературы

1. Зарембо Л. К., Красильников В. А. Введение в нелинейную акустику. М.: Наука, 1966.

520 с.

2. Каштан Б. М. Поля точечных источников. СПб.: Изд-во С-Петерб. ун-та, 1999. 32 с.

3. Киселев Ю. В., Троян В. Н. Численное моделирование в задачах дифракционной томографии // Вопросы геофизики. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1999. Вып. 35. С. 26–38.

4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Теория упругости. М.: Наука, 1987.

248 с.

5. Литвин А. Л., Цванкин И. Д. Взаимодействие плоских волн с границей нелинейно-упругой среды // Проблемы нелинейной сейсмики: сб. стат. М.: Наука, 1987. С. 128–136.

6. Энгельбрехт Ю. К., Фельдман М. В. Изменение спектрального состава сейсмических импульсов при распространении в нелинейной среде // Проблемы нелинейной сейсмики:

сб. стат. М.: Наука, 1987. С. 103–108.

7. Beresnev I. A. Interaction of two spherical elastic waves in a nonlinear vedconstant medium // Jour. Acoust. Soc. America. 1993. Vol. 94, N 6. P. 3400–3404.

8. Jones G. L., Kobett D. R. Interaction of Elastic waves in an Isotropic Solid // Jour. Acoust.

Soc. America. 1963. Vol. 35, N 1. P. 5–10.

9. Koen E. A., Abeele V. D. Elastic pulsed wave propagation in media with second or higherorder nonlinearity. P. I. Theoretical framework // Jour. Acoust. Soc. America. 1996. Vol. 99, N 6. P. 3334–3345.

10. Korneev V. A. Time-domain solutions for nonlinear elastic 1-D plane wave propagation.

Berkley, 1998. 30 p.

11. Korneev V. A., Nihei K. T., Myer L. R. Nonlinear interaction of plane elastic waves. Berkley,

1998. 44 p.

12. Zabolotskaya E. A., Hamilton M. F., Ilinskii Y. A., Meegan G. D. Modeling of nonlinear shear waves in soft solids // Jour. Acoust. Soc. America. 2004. Vol. 116. P. 2807–2813.

13. Zhukov A. P., Loginov K. I., Shneerson M. B. et al. Nonlinear properties of vibrator-generated waveedls and their application to hydtocarbon detection // The Leading Edge. 2007. Vol. 26, N 11. P. 1395–1402.



Похожие работы:

«Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Горный институт Уральского отделения Российской академии наук Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Пермский государственный национальный исследовательский университет" Федеральное государственное бюджетное...»

«А. Е. Ромашкин, Д. В. Рычанчик, А. И. Голубев ГЕОХИМИЯ РЕДКОЗЕМЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ УГЛЕРОДСОДЕРЖАЩИХ ПОРОД ЗАОНЕЖСКОЙ СВИТЫ ОНЕЖСКОЙ СТРУКТУРЫ Распределение РЗЭ в породах заонежской свиты осадков интрудированны мощной пачкой силлов ослюдиковийског...»

«Геология и геофизика, 2001, т. 42, № 11-12, с. 1808-1820 УДК 553.981(268.45) КАТАГЕНЕТИЧЕСКАЯ ЗОНАЛЬНОСТЬ ОСАДОЧНОГО ЧЕХЛА БАРЕНЦЕВОМОРСКОГО ШЕЛЬФА В СВЯЗИ С НЕФТЕГАЗОНОСНОСТЬЮ И.С. Грамберг, Н.К. Евдокимова, О.И. Су...»

«МЕСТО И РОЛЬ РАДИОСВЯЗИ В МОДЕРНИЗАЦИИ РОССИИ (1900–1917 гг.) Приложение 1 Хроника важнейших событий развития радиотехники и формирования системы радиосвязи России Открытие английским физиком...»

«Теория Природы (некоторые уточнения) Юсупов Р. А. диалектический материалист, свободный исследователь Виртуальный университет, лаборатория диалектического материализма, физики и космологии 690018, Владивосток, СССР декабрь 2014 – сентябрь 2015 Вопросам мироустройства, физическим аспектам мироустр...»

«САЙГАФАРОВА ДИНАРА ФАРИТОВНА ИОННОЕ ГИДРИРОВАНИЕ ОЛЕФИНОВ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ И БЕНЗИНА ВТОРИЧНОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ Специальность 02.00.13 – “Нефтехимия” АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата химических наук Уфа – 2003 Работа выполнена в Уфимском государственном институте сервиса. Научный руководитель кандидат химических наук,...»

«Учреждение образования "Могилевский государственный областной институт развития образования"Контакты: 212011, г. Могилев, пер. Березовский, 1а Тел. +375(222) 40-03-89 Факс: +375(222) 74-06-68 http://mogileviro....»

«1 29.06.2017 List of A. D. Gvishiani’s publications Monographs Гвишиани А.Д., Березин Ф.А., Горин Е.А., Кириллов А.А. Сборник задач по 1. функциональному анализу. М.: Изд-во МГУ. 1977. 99 c. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функциональн...»

«ПЕРЕЧЕНЬ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ОБУЧАЮЩИХСЯ Б1.В.ОД.4 Современные технологии и оборудование для получения волокнистых полуфабрикатов 18.04.01 03 Химическая технология На...»

«ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ 2015–2016 уч. г. ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП 5 класс 1. Плитки двух видов были выложены на стене в шахматном порядке. Несколько плиток упали со стены. Оставшиеся плитки изображены на рисунке. Сколь...»








 
2017 www.kniga.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.