WWW.KNIGA.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Онлайн материалы
 

Pages:   || 2 | 3 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего ...»

-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

В. Л. Чечулин

Теория множеств

c самопринадлежностью

(основания и некоторые приложения)

2-е изданпие

МОНОГРАФИЯ

Пермь 2012 УДК 519.50 ББК 22.10 Ч 57 Чечулин В. Л.

Теория множеств с самопринадлежностью (основания и некотоЧ 57 рые приложения): монография, изд. 2-е испр. и доп. / В. Л. Чечулин; Перм. гос. нац. исслед. ун-т.– Пермь, 2012. — 126 с.

ISBN 978-5-7944-2061-6 В монографии излагаются основные результаты теории множеств с самопринадлежностью. Подход к описанию оснований введения самопринадлежности в теорию множеств (выдвинута русским математиком Д. Миримановым в 1917 г.), используемый в монографии, имеет гносеолого-философские основания.

В 1-й части приводятся основные теоремы о свойствах множеств с самопринадлежностью, в частности теорема о непротиворечивости теории множеств с самопринадлежностью.

Во 2-й части рассматриваются приложения полученных результатов к решению некоторых математических проблем. Показано, что теория множеств с самопринадлежностью свободна от парадоксов наивной теории множеств, использовавшей только несамопринадлежащие множества. Доказательство теоремы Гёделя в семантике самопринадлежности значительно укорачивается.



В 3-й части уделено внимание внематематическим прикладным аспектам описанных в предыдущих главах результатов. Рассматривается приложение теоремы о трёхмерности пространства с ориентированными осями к построению метода управления качеством технологических процессов, а также к некоторым аспектам экономико-математического моделирования.

Во втором идании добавлены новые результаты и приложения теории? относящиеся к теории права, психологии и другим разделам науки.

Книга предназначена для научных работников, преподавателей, аспирантов и студентов старших курсов.

(126 с., 7 табл., 28 рис., библиография 127 наимен.) УДК 519.50 ББК 22.10 Печатается по решению редакционно-издательского совета Пермского государственного национального исследовательского университета Рецензенты: Л. Н. Ясницкий, д-р. техн. наук, проф., зав. кафедрой прикладной информатики и искусственного интеллекта Пермского государственного педагогического университета; В. В. Морозенко, канд. физ.мат. наук, доц. каф. информационных технологий в бизнесе Пермского филиала ГУ ВШЭ.

ISBN 978-5-7944-2061-6 © Чечулин В. Л., 2012 Chechulin V. L.

Set theory with selfconsidering (foundation and some applications):

monography, 2-nd edition / V. L. Chechulin; Perm State University.— Perm (Russia), 2012.— 126 p.

ISBN 978-5-7944-2061-6 The monograph presents the main results of the theory of sets with selfconsidering. The approach to the description of the grounds selfconsidering introduction to the theory of sets (as proposed by the Russian mathematician Mirimanov in 1917), used in the monograph has epistemological grounds.

In the 1-st part of the book. In this part sets out the main theorems about properties of sets with selfconsidering, in particular — a theorem about the consistency of set theory with selfconsidering.





In the 2-nd part of the book discusses applications of the results to the solution of certain mathematical problems. Shown that the theory of sets with selfconsidering free from the paradoxes of naive set theory, using only unselfconsidering sets. The proof of Godel's theorem in the selfconsidering semantics significantly shortened.

In the 3-rd part of the attention paid to some applied aspects described in the previous chapters results. The application of the theorem on 3-dimension space with axes oriented was considered to the construction method of quality management processes. Also mentioned the application of the same theorem to certain aspects of economic-mathematical modeling.

In 2-nd edition new rezults was added.

The book is intended for researchers, postgraduates and senior students.

Printed by decision editorial and publishing soviet of Perm State University Reviewers: Reviewers: Dr., prof. L. N. Yasnitskiy, chief of subfaculty of applied informatics and computer intellect ot Perm state pedagogical university; V. V. Morozenko, docent of subfuculty information technologies in business of Hihg economic school Perm filial ISBN 978-5-7944-2061-6 © Chechulin V. L., 2012.

Оглавление Оглавление

Из предисловия автора к 1-му изданию

Предисловие

Чаcть 1. Основания и основные результаты

Глава 1. Гносеологические основания

§1. Самоссылочные структуры сознания

Глава 2. О множествах с самопринадлежностью

§2. Формализация отношения принадлежности

§3. Явная запись самопринадлежащих объектов

§4. Схема свёртывания

§5. Основные определения

§6. Свойства

§7. Свойства М

§8. Основные теоремы. Непротиворечивость теории

§9. О множестве несамопринадлежащих множеств

§10. Числовые структуры

Глава 3. Об упорядоченных множествах с самопринадлежностью.

..............19 §11. Простые, конечные, последователи

§12. Бесконечные последователи

§13. Недостижимые последователи

§14. Структурный изоморфизм

§15. Самоподобие, пространства

§16. Ограничение размерности

§17. О связи с теоремой о 4-раскрашиваемости плоских графов...............28 §18. О несамоподобии множества М

Глава 4. Исторические аналогии

§19. Последовательность усложнения математических понятий...............30 §20. Усложнение представлений о числе и бесконечности

§21. Самоописательность в теории множеств

Часть 2. Приложения основных результатов

Глава 5. О некоторых приложениях семантики самопринадлежности.

.........34 §22. Приложения к -теории

§23. Приложения к логике

§24. Приложения в матлингвистике

§25. Приложение в матэкономике

Глава 6. Интерпретация теоремы о размерности

§26. Интерпретация в терминах теории графов

§27. Ориентированные пространства

§28. Теорема об ограниченности размерности

Глава 7. Обход парадоксов

§29. Разрешение парадоксов принадлежности

§30. Отсутствие парадокса Кантора

§31. Отсутствие парадокса Бурали-Форти

Глава 8. Около континуум-гипотезы

§32. Краткое доказательство теорем Гёделя

§33. Несчётность количества точек на прямой

§34. Счётность количества обозначений

§35. Счётность простых деревьев

§36. О мощности самоподобных множеств

§37. Дополнение: о мощности множества М

Главa 9. Теорема о неподвижной точке

§38. Формулировка теоремы

§39. Интерпретация теоремы

Глава 10. Внематематические приложения результатов

§40. Приложение теоремы о размерности в теории управления................60 §41. Экономические приложения

§42. Ограничения биологических моделей

Часть 3. Дополнения

Глава 11. О представлениях самопринадлежности

§43. Ограничения в терминах несамопринадлежности

§44. Попытки обозначения самопринадлежности

Глава 12. Об иерархии логических структур

§45. Исторические аналогии

§46. Невложимость самопринадлежности в простые логики

Глава 13. Дальнейшие фундаментальные результаты

§47. О счётности последователей типа PN(.)

§48. Мощность множества М и множества Рассела

§49. Самопринадлежащие множества как неподвижные точки.................73 §50. Свойства структурного изоморфизма

§51. К обоснованию теории меры

§52. Свойства конечных множеств

§53. Об уточнении свойств пустого множества

§54. Непредикативность определения натуральных чисел

Глава 14. Дальнейшие прикладные результаты

§55. О свойстве оператора суперпозиции

§56. О вращении в многомерных пространствах

§57. Неподвижные точки и алгебра событий

§58. Предикативность лямбда-исчисления

§59. Непротиворечивость лямбда-исчисления

§60. Моделирование логических схем

§61. Моделирование нейросетей

§62. Интерпретация теоремы о стягивании циклов

§63. Обоснование вычислимости неподвижной точки

§64. О непредикативных основаниях права

§65. О непредикативности в психологии

Заключение

Послесловие

Список литературы

Указатель имён

Предметный указатель

Из предисловия автора к 1-му изданию

Предпосылкой написания монографии стал курс лекций по «Философии математики», прочитанный автором в 2007/2008 учебном году студентам-математикам при Соликамском государственном педагогическом институте.

Каждая часть книги имеет содержательную завершённость. В первой части даётся описание оснований и основных результатов теории множеств с самопринадлежностью. Во второй части содержатся внутриматематические приложения основных результатов. Примеры приложений результатов в других областях даны в третьей части.

Предисловие Во втором издании монографии устранены неточности первого издания, а также приведены дополнительные главы (12, 13) с новыми фундаментальными и прикладными результатами теории.

Логика изложения 1-го издания сохранена, сохранена и нумерация теорем. Таким образом, текст первого издания представляет собой введение в теорию, дальнейшие результаты которой изложены в дополнительных главах второго издания.

Автор благодарит Д. С. Корепанову за содержательные рассуждения о пустом множестве, а также А. А. Волочкова за внимательное изучение 1-го издания книги и высказанные предложения по его улучшению.

<

–  –  –

Рис. 1б. Схема отражения мира в самоосознании.

* 6 — самоописание субъекта в самоописательной части описания мира жения.1 Последовательная схема отражения действительности в сознании представлена на рис. 1б [76]. Высший уровень отражения — 6-й — необходимо самоссылочен (непредикативен). Не углубляясь в гносеологический анализ схемы отражения, можно заметить, что при анализе процесса познания (отражения действительности) видно, что т. к. самоссылочные структуры имеются в сознании, то тем более самоссылочность уместна и в математических структурах.

О допустимости самопринадлежности в теории множеств было известно с начала XX в. "Впервые внимание к экстраординарным множествам привлёк Д. Мириманов2" [40, с. 117], оставаясь в рамках См. подробнене [106, §2].

Mirimanoff D., Les antinomies de Russel et de Burali-Forti et le probleme fondamental de la thorie des ensembles // L'Enseygnement Mathematiques, 1917, vol. 19, 37-52.

Mirimanoff D., Remarqes sur la thorie des ensembles et les antinomies cantoriennes // Ibidem, 1921, vol. 21, 29-52. (указано по: [40]; см. список литературы).

наивной теории множеств. Аксиоматизация теории множеств была связана в основном с попыткой избавиться от рассмотрения множеств с самопринадлежностью3.

Однако при рассмотрении множеств с самопринадлежностью не возникает противоречий и открываются весьма неожиданные свойства этих объектов мысли.

В теории множеств, хотя было известно (с 1917 г.) о существовании самопринадлежащих множеств: ss, названных экстраординарными [40, с. 117], была предложена Цермело (в 1925 г.) и фон Нейманом (позже) аксиома фундирования, исключающая из рассмотрения такие множества [40, с. 118]. Аксиома эта была измышлена из предположения ("предрассудка"), что якобы "единственным первичным конституентом (составляющим, constituent) любого множества оказывается пустое множество [40, с. 117].

Глава 2. О множествах с самопринадлежностью §2.

Формализация отношения принадлежности Прежде чем формально рассматривать самопринадлежащие множества, следует определиться с интуитивным пониманием объекта и отношения принадлежности (отношения части и целого).

Объекты мысли (но не мыслящего и не саму мыслимую мысль) можно мыслить как единое или как многое, или как едино-многое. Возможности мыслимости объектов отображены в табл. 1.

–  –  –

При рассмотрении диалектики единого, многого и едино-многого в плане взаимного содержания, взаимосвязи частей и целого созерцательно таковы, как указано в табл. 2.

–  –  –

При формализации этих интуитивно ясных отношений и выстраиваются операции с самопринадлежащими множествами.

§3. Явная запись самопринадлежащих объектов Пример. Пусть А = {а, А}, AA, множество подмножеств А таково: Exp(А) = {{а}, {а, А}, {А}} = (раскрытие самопринадлежащего едино-многого объекта А) ={{а}, {а, А}, {а, А}} = (удаление подобных обозначений) = {{а}, {а, А}} = (раскрытие многих, взятых как многое, в одно многое) = {а, а, А} = (удаление подобных обозначений) = {а, А} = А.

§4. Схема свёртывания Определение 1. Множество всех множеств М — множество, содержащее все объекты, рассматриваемые как связанные между собой отношением принадлежности.

Схема свёртывания, схема выделения объектов из M такова:

А содержит объекты x из M, такие, что выполняется условие L(x), причём т. к.

пустое множество принадлежит (формально) любому объекту из М, то возможность несуществования объекта А, при невыполнении условия L(x) на всех объектах из M оговаривается отдельно, условием (x):

А = {[x]M | (x) или L(x) }.

Таким образом, теория множеств с самопринадлежностью есть некоторое исчисление множеств (объектов), ограниченное замкнутой областью M 4.

Посредством схемы свёртывания операции с множествами записываются следующим образом:

Объединение множеств A и B — АB = {[x]M | (x) или (xA или xВ) }.

Пересечение множеств A и B — АB = {[x]M | (x) или (xA и xВ) }.

Множество подмножеств множества А — Ехр(А) = {[x]M | (x) или (xA) }.

§5. Основные определения Определение 2. А — подмножество множества В, если всякий объект из А принадлежит В.

АB (хА)хВ.

Определение 3. Множество всех подмножеств некоторого объекта А обозначется ЕхрА.

Ехр(А) = {[x]M | (x) или xA}.

Очевидно, что Exp() =.

См. далее свойство M: Exp(M)=M.

§6. Свойства Свойства пустого множества 5 1. — самопринадлежаще (формально6), очевидно,.

2. принадлежит любому объекту из М (формально), что выражено в схеме свёртывания:

А = {[x]M | (x) или "условие, задающее объект А"}.

3. — единственно.

Доказательство7 (формальное). Пусть ' и — пустые множества, тогда по свойствам 1 и 2 (т. к. оба множества самопринадлежащи) и т. к.

' и ', по теореме о транзитивности принадлежности имеем ' и ', значит, = ', т. е. разные обозначения обозначают одно и то же, — единственно.

4. Множество подмножеств пустого множества пусто. Exp()=.

Доказательство (формальное). Ехр()={[x]M | (x) или x}.

§7. Свойства М Свойства множества всех множеств

1. М — самопринадлежаще, ММ.

Доказательство. По определению множества всех объектов, т. к. множество всех множеств тоже некоторый объект, этот объект самопринадлежащ.

2. Если А — некоторый объект из М, АМ, то АМ.

Доказательство. Если хА, то, по определению М, хМ (для всех х из А), по определению подобъекта, АМ.

3. Если А — некоторый объект из М, и МА, то А = М. ("Переполнимость" любого объекта из М объектом М, неограничиваемость объекта М подобъектами, его "максимальность").

Доказательство. По условию АМ (с учётом особенности М АМ);

МА, по теореме о транзитивности принадлежности МА; по объединению формул А = М.

4. М — единственно.

Доказательство. Если бы объект М' был бы тоже множеством всех множеств, то по определению этот объект содержал бы М и наоборот (по определению объекта М) содержался бы в М: М'М и ММ'; т. к. М и М' — самопринадлежащи, по 1-му свойству и по теореме о транНесуществования (ничто), обозначаемого существующим символом.

Содержательно: ничто только из ничто и состоит (в несуществующем только несуществование, и нет в нём существующего).

Содержательно ясно, что ничто — единственно.

зитивности отношения принадлежности для самопринадлежащих множеств, то М М' и М' М, значит, речь при разных обозначениях идёт об одном объекте. Объект М — единственен, с точностью до обозначения.

5. М тождественно множеству всех своих подмножеств, М = Ехр(М).

Доказательство. По определению множества подмножеств (опред. 3) МExp(М); по определению М, Exp(M)М; по объединению формул М = Exp(M) 8.

§8. Основные теоремы. Непротиворечивость теории Транзитивность принадлежности. Недополнимость. Непротиворечивость.

Диалектика единого и многого, являющаяся основанием рассуждения о множествах, указана в табл. 1, 2.

Единое, многое и едино-многое в их комбинациях образуют формально выразимую алгебру скобок [.] и {.}, описанную в левом столбце табл. 1.

Пусть множество А самопринадлежаще, АА, и пусть А принадлежит В, АВ, тогда в записи посредством скобок:

В = {… [А]} = (раскрытие квадратных скобок, табл. 1) = {… А} = (замена самопринадлежащего А его содержимым А={… А}) = = {… {ai … А}}9 = (раскрытие скобок {.}, "многое во многом есть многое") = {…, ai, … А}}.

Пример. А={a, b, A}, B={c, d, A}. Тогда B = {c, d, A} = (замена А={… А}) = = {c, d, {a, b, A}} = (раскрытие скобок) = = {c, d, a, b, A} = (те же замены, что и ранее) = = {c, d, a, b, a, b, A} = (вычёркивание повторений) = {c, d, a, b, A}.

Таким образом, доказана теорема.

Теорема 1 (О транзитивности принадлежности). Объекты, принадлежащие самопринадлежащему объекту А, который принадлежит В, принадлежат объекту В. АА, АВ аiA аiB. 10 Теоремы о недополнимости подмножества в М и неделимости самопринадлежащего объекта.

Теорема Кантора о порядке множества подмножеств (см., напр., [9]) справедлива только для несамопринадлежащих множеств.

Где аiA.

Содержательно вытекает из интуитивного определения отношений частей и целого, самоприналежащий объект представляет собой открытость, через самопринадлежащее, целое частей, составляющих это целое.

Теорема 2 (о недополнимости объекта в М). М — множество всех множеств. Для любого существующего объекта в М не существует дополнения до М.

Доказательство. Пусть А объект, АМ, возможны случаи:

1. А =, тогда А — не объект ( означает несуществование, но не существующий объект).

2. А и МА. Попытаемся построить дополнение В к А в М, т. е. попытаемся собрать все объекты, не принадлежащие А, "внешние" по отношению к А, в одно множество В.

В = {[х]М | х или хА}, МА, значит, МВ, т. е. В = М и АВ. Дополнение "поглощает" дополняемый объект. Попытка неудачна. Утверждение теоремы доказано.

3. А = М, очевидно, В = {[х]М | х или хА} =, что означает несуществование (отсутствие) дополнения к М в М.

Следствие. Множество всех объектов М невозможно представить в виде объединения двух непересекающихся объектов. М неделимо на части.

Теорема 3 (о неделимости самопринадлежащего объекта). Любой самопринадлежащий объект целокупен, т. е. неделим на две (и более) непересекающиеся части.

Доказательство. Пусть АМ. Возможны случаи:

1. А =. Предельный случай, формально, единственно,— "ничто" неделимо.

2. А. Доказательство подобно доказательству теоремы о недополнимости объекта в М. Попытка "дополнить" любой, отличный от А и, объект В из А в А — неудачна. В выстраиваемом дополнении присутствует собственно объект А, объемлющий дополняемый объект В.

Следствие. Для любого существующего объекта В из самопринадлежащего объекта А в А не существует дополнения.

Доказательство очевидно.

Теорема 4 (о непротиворечивости). Пусть М — множество всех множеств. Тогда совокупность высказываний, описывающих существующие в М объекты,— непротиворечива.

Доказательство Если высказыванием L описан объект А, то отрицание этого высказывания описывало бы дополнение В к объекту А в М, но по теореме о недополнимости это невозможно, следовательно, высказывания об объектах из М непротиворечивы. 11 Известно [24, с. 154–155], что если существует сильно недостижимый кардинал, то есть такой, что, 2, то в теории множеств существует внутренняя мосм. след. стр.

Существует, однако, ограничение: эти высказывания об объектах из М не могут быть получены формальным выводом из некоторых аксиом.

Пример. Пусть А — множество, содержащее как объекты все несамопринадлежащие множества, тогда А — самопринадлежаще (если АА, то АА), внутренность12 множества А тоже самопринадлежаща, и т. д. по всем множествам ряда внутренностей А.

А — недостижимый объект:

А={[x]М|(х или хх) либо (х=а, аа, аА, Р(а)=А, где —число)}.

Объект, полученный отрицанием высказывания в схеме выделения, не существует, очевидно, А={[x]М|(х или хх) эквив. (х=а, аа, аА, Р(а)=А, где —число)}.

В М-теории верно первое высказывание о множестве, содержащем все несамопринадлежащие множества. Однако объект, содержащий только самопринадлежащие внутренности объекта А, тоже существует:

А = {[x]М | (х) или (х = а, аа, аА, Р(а) = А, где — число)}, в этом случае А — недостижимое бесконечное число.

§9. О множестве несамопринадлежащих множеств Пусть М — множество всех объектов (множеств). Выделим в М множество А, содержащее все несамопринадлежащие множества. В первом приближении А таково:

А = { [х]М | х или хх}. (1) Но тогда АА, значит по словесному определению АА, т. е. (1) перепишем как А = { [х]М | х или (хх либо x = A)}; (2) дель самой теории множеств, что позволяет доказать непротиворечивость теории множеств в аксиоматике Цермело-Френкеля (ZF), однако существование недостижимых кардиналов не следует из аксиоматики ZF [8], [24], поэтому рассуждения о недостижимых кардиналах в теории множеств без самопринадлежности более гипотезы, чем доказуемые утверждения. При рассмотрении теории множеств с самопринадлежностью выполняются условия, аналогичные свойствам недостижимых кардиналов, и доказуема непротиворечивость теории.

В теории множеств с самопринадлежностью множество всех множеств М совпадает со множеством всех своих подмножеств, но не совпадает со множествами подмножеств любого своего собственного подмножества — Exp(M)=M, но AM (MA) Exp(A)M, ( MExp(A) ). То есть утверждение, аналогичное утверждению о недостижимом кардинале, выполнено. Однако непротиворечивость теории множеств с самопринадлежностью доказывается из несколько других соображений, что описано выше.

См. след. сноску.

однако внутренность13 такого объекта А, V(А) описываема по формуле (1), значит, объекту А, содержащему все несамопринадлежащие объекты, принадлежат и все внутренности самого объекта А (причём ряд внутренностей не обрывается14):

А = {[х]М | х или (х = a, aа, а = V(A), где — число )}. (3) Таким ообразом, объект, содержащий все несамопринадлежащие множества,— самопринадлежащ и содержит все свои внутренние подобъекты.

К тому же множество всех подмножеств объекта А совпадает с ним самим, Exp(A) = A,— если ХА и XX, то XА по определению А (3) (см. табл. 1, 2); если же ХА и XX, то X совпадает с некоторым внутренним объектом из А или с А, т. е. по определению А (3), XА.

В теории с самопринадлежностью множеств парадокс Расселла отсутствует.

Рассуждение. Словесной формулировки недостаточно для однозначного выделения объекта из М, требуется формализованная конкретизация, причём кроме первоначально сформулированного словесно условия объект может обладать (объективно) и другими свойствами — содержать помимо выделяемых и иные объекты. В рассуждениях о множестве несамопринадлежащих множеств первоначальная словесная формулировка формализована (переведена на математический язык) в формуле (1), в следующей формуле (2) условие конкретизировано (не применительно к словесным выражениям естественного языка, но применительно к естеству М-теории), окончательно объект выделен, построен, по объективно существующей структуре объекта М — формула (3). Рассуждения об объектах (множествах) возможны при признании существования объекта М (множества всех множеств) в явном виде, полностью не описываемого и не формализовываемого.

Рассуждая логически (см. теорему о непротиворечивости), в логике, вложимой в М-теорию, невозможно построить утверждение, отрицающее себя. Утверждения, отрицающие себя15 (несамопринадлежащие объекты), содержатся в некотором самоутвердительном утверждении (самопринадлежащем объекте).

Интуитивного представления о числе как о порядковом типе (вполне упорядоченной структуре) достаточно для интуитивного разумения отсутствия в теории с самопринадлежащими множествами параV(А) = {[х]М | х или (хA и Aх) } — внутренность объекта А,— объект, содержащий все объекты из А, кроме самого А. Для несамопринадлежащих множеств внутренность совпадает с самим объектом: XX, значит, V(X) = X.

Условие обрыва минимальных цепей отсутствует в теории М.

При интерпретации отношения принадлежности как импликации.

докса Рассела.

§10. Числовые структуры Интуитивно самопринадлежность наблюдается при счёте моментов времени, единица — "сейчас" состоит из "сейчас", двойка — из "бывшего" и "сейчас", но "бывшее" когда-то было "сейчас", тройка — из "бывшего раньше", "бывшего" и "сейчас"; каждый момент бытия заключён в бытии — самопринадлежащ. Числа (при счёте во времени) самопринадлежащи:

единица состоит из единицы и ничто;

двойка — из единицы, двойки (себя самой) и ничто16;

тройка — из единицы, двойки, тройки (себя самой) и ничто;

1 1, 1, 1 2, 2 2, 2, 1 3, 2 3, 3 3, 3, … 1 = {1}, 1, 2 = {1, 2}, 2, 3 = {1, 2, 3}, 3, и т. д.17 То же при счёте на пальцах: два загнутых пальца — это двойка, но не две единицы (единица — загнутый мизинец) — пальцы не поменять местами (как при счёте на палочках — палочки).

Определение числа в теории множеств с самопринадлежностью формализуется посредством понятия последователя к множеству (объекту).

Определение. Последователь объекта А содержит объект А и себя же самого;

P(А)={[х]М |([х]) или ([x]А либо P(А)[х])} Если последователь простой (единичный), то P(А)={[х]М|([х]) или ([x]А либо [х]=P(А))}.

Свойства последователей.

1. Формально, единичный объект — это последователь для ничто; [а] = Р();

(двойственность к особенности внутренности единичного объекта).

2. Последователь для М не определён (по единственности М).

Формально Р(М) =, что означает: М — не расширяемо последователями, ограничено.

3. Последователь вообще не единственен (для объекта иного, чем М); [а]М, и Ма, Р1(а) Р2(а) (однако, очевидно, внутренности всех последователей одного объекта совпадают V(Р1(а)) = V(Р2(а)).

4. Все простые последователи, построенные по определённому выше типу Р,— конечны.

[а], Р([а]), Р(Р([а])) и т. д. — конечны. Добавлением единицы (без абстракции бесконечности) можно построить (выделить в М) только конечные числа.

Натуральные числа — это ряд последовательных последователей к единичному объекту.

см. след. стр.

Таким образом, понятие о числах, упорядоченных структурах, определяется из теории множеств естественно.

Очевидно, что множество N, содержащее все натуральные числа,— несамопринадлежаще NN 18.

Формализация же в теории множеств с самопринадлежностью, понятий о бесконечных числовых, структурах достаточно пространна и описана в следующей главе.

Вообще же если C — множество-число, то CC и, для любых двух объектов а, b из С, aa, bb, ab или ba; число — нить вложенных друг в друга отношением принадлежности (без ветвлений) объектов.

Т. е. [N] — единичное множество, может быть началом новой линии счёта. Однако этим замечанием следует пока ограничиться.

Глава 3. Об упорядоченных множествах с самопринадлежностью В этой главе продолжено краткое описание понятий о бесконечных числовых (упорядоченных) структурах в теории множеств с самопринадлежностью.

§11. Простые, конечные, последователи Определение натурального числа (см. §10) в теории множеств с самопринадлежностью формализуемо посредством понятия последователя к множеству (объекту).

Определение 4. Простой последователь объекта А содержит объект А и себя самого, P(А)={[х]М |([х]) или ([x]А либо P(А)[х])}.

Если последователь простой (единичный), то P(А)={[х]М|([х]) или ([x]А либо [х]=P(А))}.

Свойства последователей

1. Формально: единичный объект —это последователь для «ничто»;

[а] = Р() (двойственность к свойству внутренности единичного объекта);

2. Последователь для М не определён (по единственности М), формально Р(М) =, что означает: М не расширяемо последователями, ограничено.

3. Последователь вообще не единственен (для объекта иного, чем М);

[а]М, и Ма, Р1(а) Р2(а) (однако, очевидно, внутренности всех последователей одного объекта совпадают V(Р1(а)) = V(Р2(а)).

4. Все простые последователи, построенные по определённому выше типу Р,— конечны.

[а], Р([а]), Р(Р([а])) и т. д. — конечны. Добавлением единицы (без абстракции бесконечности) можно выделить в М только конечные числа.

Натуральные числа — это ряд последовательных последователей к единичному объекту. Вообще же если C — множество-число, то CC и для любых двух объектов а, b из С, aa, bb, ab или ba; т. е. число — это нить вложенных друг в друга отношением принадлежности (без ветвлений) объектов.

Определение 5. Внутренность объекта А содержит объекты, принадлежащие объекту А, за исключением самого объекта А;

V(А)={[х]М |([х]) или ([x]А и АV(А))}.

Свойства внутренностей

1. Внутренность единичного объекта — ничто; V([а]) =,

2. Внутренность для М не определена — формально ничто, V(М) =, т. е. объект М, множество всех множеств не имеет ни последователей, ни внутренностей19.

3. Внутренность объекта — единственна.

3.1 Для несамопринадлежащего объекта внутренность объекта совпадает с самим объектом. ВВ, следовательно, V(В) = В (см. определение внутренности).

3.2 Для самопринадлежащего объекта внутренность объекта — единственна. АА, по определению внутренности V(А) либо а) самопринадлежаща, V(А)V(А), тогда она единственна (единственен самопринадлежащий объект V(А) по содержанию понятия о самопринадлежности, см.

табл. 1, 2), либо б) несамопринадлежаща, V(А)V(А), также очевидна единственность несамопринадлежащего множества V(А); в) либо ничто, V(А) =.

4. Внутренности всех последователей одного объекта совпадают V(Р1(а)) = V(Р2(а)).

Пример. 1 1, 1, 1 2, 2 2, 2, 1 3, 2 3, 3 3, 3, … 1 = {1}, 1, 2 = {1, 2}, 2, 3 = {1, 2, 3}, 3, и т. д.20 Р(1) = 2, Р(2) = 3, V(3) = 2.

Легко определяются n-е последователи: Р(Р(а)) = Р2(а) и т. д. и n-е внутренности V(V(а)) = V2(а), где n — натуральное число, изобразимое последователем Рn(); в общем случае для простых последователей Хотя можно ввести иерархию единичных объектов, взяв мысленно объект М как единое следующего уровня единства, как единичный объект, ]М[, однако тогда придётся постулировать бытие многих единичных объектов ]Мi[, аналогичных объекту ]М[, что противоречит свойству единственности множества всех множеств М (см.

выше); но даже допустив, внелогично, мыслимость неединственности множества таких единичных объектов ]Мi[, должно было бы заключить, что они принадлежат множеству всех множеств следующего уровня иерархии М1, совпадающего, однако, по структуре при всей изолированности структур множеств ]Мi[ со структурой множества всех множеств М и при изолированности, несвязанности отношением принадлежности объектов из разных множеств ]Мi[ и ]Мj[ (по определению единичных объектов) (i j) и из М1, не получили бы качественно новых, структурно различимых объектов (см. ниже определение самоподобия) — не добавили бы ничего качественно нового к описанию самопринадлежащих объектов, поэтому остаётся ограничиться рассмотрением обычного множества всех множеств.

В этой записи два обозначения "3" справа и слева от знака равенства обозначают один и тот же объект (определение самопринадлежащего множества самоссылочно, непредикативно).

Vn(Рn(а)) = а, но возможно Рn(Vn(а)) а, например Р5(V5(Р3())) = 5 21.

Вообще можно рассматривать и разные ветвящиеся структуры и циклы простых последователей, аналогичные ориентированным графам, однако при рассмотрении более сложных структур, имеющих практическое приложение, остаётся ограничиться рассмотрением числовых (вполне упорядоченных) структур.

§12. Бесконечные последователи Натуральный ряд в М выделяется как множество простых последовательных последователей к ничто (или к начальному, единичному элементу ряда):

N = {[х]М |([х]) или ([x]=Pn(), где nN и Р(V(Р(х))) = х) 22}.

Свойства натурального ряда

1. Натуральный ряд — не единственен.

2. N — несамопринадлежаще, NN.

3. Внутренность натурального ряда совпадает с самим натуральным рядом, V(N) = N, что означает невозможность обратного счёта от абстракции бесконечности объектов счётного числового ряда к конечным числам23.

Имеются две возможности рассмотрения последователей к натуральному ряду N (N — как единичное либо как многое):

1. Простой последователь к N как к единичному объекту [N], Р([N]); [N] — единичный объект изоморфен единице [N] [1], Р([N]) — двойке, такое рассмотрение выявляет структуру изоморфную натуральному ряду, но новых структур не выявляет.

2. Бесконечный последователь — последователь к множеству всех объектов из N, последователь к натуральному ряду, взятому как многое, {N}: РN = {[х]М | ([х]) или ([x]N либо х = РN()) }.

Свойства бесконечного последователя РN:

1) вообще РN не единственен,

2) РN — самопринадлежащ,

3) V(РN()) = N.

Так же, как и для счётных последователей, определимы n-е бесконечные последователи типа PN: PN(PN()) = PN2() и т. д., и бескоВ арифметике натурального ряда (без дополнительных конструкций) нет отрицательных чисел, арифметическая запись этого выражения 3–5 = 0, 0+5 = 5.

Это условие означает, что у всякого объекта из N точно один простой последователь.

Более абстрактно — бесконечная последовательность внутренностей натурального ряда неубывающа и совпадает с самим натуральным рядом.

нечные последователи:

PNPN()() = { [х] М| [х] или (х = (PN ()), РN() ) } и т. д.

§13. Недостижимые последователи

Выделим бесконечный ряд последовательных простых и бесконечных последователей РN:

, P(),…, PN(), P(PN()),…, PN2(),…, PNPN()(), … (4)24 выделим в записи последовательности только некоторые объекты (последовательность бесконечных последователей PN):

PN()() PN()(),…,PNPNPN()()(),…,PNPNPN ()(),… (5), PN Объект PO(), содержащий все объекты такого ряда,— самопринадлежащ (если нет, то к нему можно построить последователь по типу Р(РN()) и, значит, он объект из этого же ряда), причём ряд его внутренностей не обрывается25, объект РО() — недостижимый объект. По аналогии, рассматривая ряды из последователей вида РО() и их РО() степеней, можно выделить объект Р1O(), содержащий все такие последователи, и т. д., построив бесконечный ряд РО, Р1О, Р2О и т. д.,— недостанет счётного ряда для нумерования уровней недостижимости объектов, придётся использовать для нумерации недостижимые же последователи и т. д. — получаются структуры, аналогичные недостижимым последователям (кардиналам), рассматриваемым в классической теории множеств (см.: [8; 25]).

Увеличение уровня недостижимости перестаёт добавлять качественно новое в структуру объектов; следующий уровень сложности (бесконечности) объектов — объекты самоподобные, структурно-изоморфные своей собственной части.

§14. Структурный изоморфизм Определение 6. Два объекта структурно изоморфны, если они изоморфны и совпадают по структуре, т. е. А В если А В и если для любых а1, a2 A, b1, b2 B, (а1 a2) (b1 b2).

Пример. Объекты А = {[а], А} и 2 = {1, 2} — структурно изоморфны, объекты А и С = {[c1], [c2]} — изоморфны, но не структурно (А С), A [a].

Теорема 5 (об изоморфизме множеств подмножеств). Если два множества структурно изоморфны друг другу, то множества их подP(PN()) в иной записи — это счётная бесконечность плюс единица, +1.

См. выше (глава 2) подобные рассуждения при выделении множества, содержащего все несамопринадлежащие множества.

множеств также структурно изоморфны между собой, А В Exp(А) Exp(В).

А-1 А0 А1 … ….

Рис. 2. Структура порядка прямой

–  –  –

промежутки необратимости счёта):

1 2 … PN() Р(PN()) … (7) 1 2 … PN() … V(РО()) РО() …, (8) при этом как последовательность последователей типов Р-, РN-, PO- не обрывается, так и последовательность внутренностей объекта РО(1) не обрывается ввиду того, что при возможных вариантах расcмотрения ряда внутренностей объекта РО(1)

1) VРО(1)РО() = (т. е. ряд внутренностей только счётен, ряд (8) симметричен относительно предельного перехода). Это невозможно, т. к.

V(PN())=PN();

2) VРО(1)РО() — внутри необрывающегося ряда внутренностей:

1… PN() … VРО(1)РО() …V(РО()) РО()… (9) Определение 7. Объект А — собственно внутренний по отношению к объекту В, если он принадлежит В, но не принадлежит ряду внутренностей объекта В 26.

Как таковую, в виде отдельного объекта, собственную внутренность недостижимого объекта выделить невозможно; несамопринадлежащие множества объекта А (см. главу 2) собственно внутренние, однако объект, содержащий только несамоприсм. след. стр.

Пример. Число 2 собственно внутреннее по отношению к недостижимому числу PO(), т. к. 2PO(), V(PO())2.

Определение 8. Объект самоподобен, если структурно изоморфен подобъекту, собственно внутреннему по отношению к этому же объекту.

Пример. Объект А1 — самопринадлежащ и самоподобен, в собственной внутренности объекта А1 — объект А0, структурно изоморфный объекту А1, А0 А1, некоторый объект В1 — в собственной внутренности объекта А1, B1 VT(А1), В0 В1. Объекты А0, А1, А-1 выделимы с точностью до обозначения, ряд объектов продолжим в обе стороны последовательно неограниченно (по свойству недостижимых объ

–  –  –

ектов), однако в целом ряд (рис. 3) — несамопринадлежащий объект.

Если в объекте рис. 3 (взятом как многое) "обнулить" содержимое объектов "нити В", то получим простейшее одномерное пространство — прямую (рис. 2), обозначим для дальнейшего рассуждения отношения принадлежности между отдельными выделенными самоподобными объектами этой последовательности стрелками, а объекты (выделенные с точностью до обозначения27) — точками.

При наличной выделимости самоподобных объектов, как и недостижимых объектов, в последовательности с точностью до обозначения (ввиду структурного изоморфизма), имеется и возможная и бесконечная делимость "отрезка" — между любыми объектами из последовательности (см. рис. 2), выделение между двумя последовательными (принадлежащими один другому самоподобными объектами) третьего, "променадлежащие множества,— невыделим.

Если объекты одинаковы по структуре, то отличить один объект от другого по внутренним их свойствам невозможно, но можно различить по различию обозначений. Для того чтобы получить действительную прямую, требуется кроме обозначений ввести ещё понятие о мере (в простейшем виде о мере длины).

жуточного" (содержащего первый и принадежащего второму)28.

Следующий сложный самоподобный объект — плоскость, двухмерное пространство, каждый объект из плоскости (рис. 4) структурно изоморфен любому содержащемуся в нём объекту; минимальное структурное образование (ясно просматривается на рис. 4) может быть двояким: либо "левориентированным" либо "правоориентированным"; нити последователей в кольца не замкнуты, то объект, содержащий все объекты одной плоскости (рис. 4),— несамопринадлежащ.

Рассмотрим трёхмерные пространства. В трёхмерном объекте возможны ориентации: "левая" и "правая" — по нижней ориентирующей плоскости (без циклов, см. теорему о стягивании циклов); "вверх" и

–  –  –

"вниз" (без циклов). При этом плоскости, секущие куб по диагоналям противоположных сторон, не являются ориентированными29, т. е. координатные оси в таком ориентированном пространстве заданы однозначно (ориентирующие векторы не являются координатными). Объект, соАналог аксиомы об отделимости (Хаусдорфа). Для оперирования с числами на прямой остаётся определить каким-либо образом внешнюю по отношению к прямой меру, меру регулярную.

Если бы это было, то ориентация секущей (по диагонали, ориентирующей основание куба) плоскости (построенная по ориентациям сторон куба) была бы неоднозначна (что и показано на рисунке пунктирными линиями).

держащий всё трёхмерное пространство,— несамопринадлежащ.

Вышеизложенным показано свойство неоднозначной ориентируемости двухмерных объектов внутри трёхмерных пространств.

Теорема 6. В М совершенно однозначно ориентировано лишь 2-мерное пространство (плоскость).

Доказательство очевидно, см. на рис. 5 ориентацию плоскости, пересекающую основание куба по диагонали.

Рассмотрим четырёхмерное пространство.

§16. Ограничение размерности Основная теорема об ограниченности размерности полностью упорядоченных ориентированных самоподобных объектов (пространств) трёхмерием в теории с самопринадлежностью:

Теорема 7 (о размерности). Полностью ориентируемы только трёх- и менее мерные самоподобные упорядоченные объекты, пространства (т. е. четырёхмерие — неориентируемо).

Доказательство (краткоизложенное). Как и в трёхмерных пространствах, в четырёх- и более мерных пространствах не имеется однозначной ориентации двухмерных подпространств, что проверяемо непосредственным построением (см. рис. 6)30. На рисунке — попытка изображения элемента четырёхмерного пространства (четырёхмерного куба) с нанесением линий ориентации граней всех кубов.

Легко заметить31, что грани куба (с вершинами 1000, 1001, 0011, 0001, 0100, 0110, 0111, 1101) ориентированы неоднозначно, например, линия 1000–011032 и линия 0100–101033 пересекаются, как и в случае трёхмерных пространств.

Однако при попытке полного построения ориентирующих составляющих четырёхмерного пространства и его трёх- и двухмерных подпространств обнаруживается, что в плоскости (1000, 1010, 0111, 0101) ориентирующие линии (объекты) получаются направленными навстречу друг другу от вершины 1010 к вершине 0101 и от вершины 0101 к вершине 1010 34, на рисунке эти линии выделены двойной линией (), поскольку отношение принадлежности — однонаправлено, т. е. если 4-координатный "вектор" ориентирован "векторами", направленными от имевшихся 3-координатных "векторов" к новому — 4-му.

В трёхмерной модели, построенной, например, в "Автокаде", при объёмном вращении (см. рис. 6).

Проекция ориентаций в плоскости, 1010–1100 и 0010–0100.

Проекция ориентаций в плоскости, 0010–1000 и 0110–1100.

Линии пересечения плоскостей, построенных на уже ранее построенных ориентирующих прямых, с означенной плоскостью.

АВ (и А В), то ВА 35, такой двунаправленной линии (двунаправленной нити с принадлежностью объектов в ту и в другую сторону) не может быть по определению отношения принадлежности (противоречие), следовательно, показанный на рисунке объект не существует (как и ).

Из изложенного следует, что четырёхмерное пространство — неРис. 6. Фиктивное 4-мерие ориентируемо полностью 36.

Не может быть, чтобы и ВА (тогда В = А, противоречие с начальным условием В А).

Практическое приложение эта теорема имеет при истолковании (интерпретации) экономико-математических моделей в плане привязки меры стоимости к трёхразсм. след. стр.

§17. О связи с теоремой о 4-раскрашиваемости плоских графов Минимальный "элемент", образующий пространство размерности n, гомологичен (изоморфен) графу Kn+1.

По теореме о размерности имеются не более чем трёхмерные вполне упорядоченные структуры, образующий их минимальный элемент изоморфен графу K4, граф K4 — плоский, это значит, что фрагмент трёхмерного пространства (лежащий в пределах координатных осей — 1/8 часть трёхмерного пространства) допускает плоскую проекцию на раскрашиваемую плоскую область: координаты точки задаются относительной цветностью (1, 2, 3 цвета), величиной обратной интенсивности (яркости) задаётся удаление от начала координат — начало координат изображается точкой белого цвета максимальной яркости (при удалении от начала координат добавляется 4-й цвет — "чёрный").

Для четырёхмерных пространств (с образующим графом K5) такая плоская проекция невозможна (таким образом, вышеозначенный результат связан с теоремой о 4-раскрашиваемости плоских графов [56], [99]).

Однако проекция трёхмерной области на плоскую область не сохраняет непрерывности отображения, таким образом, доступными для наглядного созерцания на плоскости остаются только двухмерные зависимости (см. теорему 6) (О приложениях плоских проекций см. [109]).

§18. О несамоподобии множества М Для полноты картины представлений об упорядоченных структурах остаётся показать отличие множества всех множеств от самоподобных объектов.

Теорема 8 (о несамоподобии М). Множество всех множеств несамоподобно, т. е. в нём нет структурно-изоморфного ему собственного подмножества.

Доказательство. Предположим противное, т. е. в М есть М1, М1М, М1М, тогда по свойству структурного изоморфизма в М1 найдётся М2, М2М1, и т. д. — бесконечный необрывающийся убывающий ряд структурно-изоморфных М множеств Мk (аналогичный рис 3, 2). Но тогда по свойству структурного изоморфизма РО(Мk-1)=Mk и ничто не запрещает строить последователи РО(…) и к М, поскольку свойства М таковы, как и у Мk, ввиду структурного изоморфизма, т. е. бесконечный ряд последователей POr(M)=Mr, но тогда в ряду самоподобных мномерной материальной характеристике системы (вещной, временной, энергетической), любой 4-й фактор (например, деньги, оторванные по содержанию от упорядочивающих материальных факторов) дезориентирующ, т. е. денежная мера практически привязываема к 3 упомянутым факторам.

жеств Мk, …, M, …, Mr невозможно однозначно выделить объект, обладающий свойством быть множеством всех множеств, что противоречит вышедоказанному свойству единственности М.37 Теорема доказана.

Следствие 1. Мощность множества всех множеств М больше мощности недостижимого (самоподобного) последователя РО(.) и является наибольшей мощностью.

Поскольку М не самоподобно и не является нитью объектов, то М не является объектом вполне упорядоченным отношением принадлежности.

Следствие 2. Множество всех множеств М не является вполне упорядоченным отношением принадлежности.

Иной вариант рассуждений. М1 М. Тогда образовалась бы, в силу свойств структурного изоморфизма, бесконечная цепочка структурно-изоморфных множеств М М1 М2 …,— все множества этой цепочки были бы не различимы между собой по структуре, тогда выбор из них единственного (ввиду доказанной выше единственности М) множества всех множеств был бы невозможен, что противоречит наличию единственного множества М.

Глава 4. Исторические аналогии §19.

Последовательность усложнения математических понятий В соответствии с наличием 6 уровней отражения действительности (рис. 1б) в формировании математических понятий (как в истории, так и с возрастом) наблюдается 6 уровней абстракции: 1) появление понятия о числе (конкретном, как наборе предметов или загнутых пальцев); 2) абстрактное понятие о числе (как наборе единиц — Евклид) и об арифметических операциях (сложения, вычитания); 3) появление понятия о неизвестной величине и определения уравнения (Диофант); 4) появление представления о функции (Ферма, Декарт); 5) появление представлений о формальной системе (алгоритме, А. Лейвелс);

6) вероятностные, непредикативные представления (см. [85], [86], [100]).

С усложнением математических понятий изменяется и представление об упорядоченных структурах — числе и бесконечности. Это усложнение представлений об упорядоченных структурах (числе и бесконечности) соответствует структурам теории множеств с самопринадлежностью.

§20. Усложнение представлений о числе и бесконечности Структуры, описанные в главе 3, соответствуют уже имевшимся ранее представлениям о бесконечном (о числах). Проследим это соответствие от простых (исторически более ранних структур) в упорядочении по историческим периодам усложнения научного знания:

1. Первичные единичные объекты чем-то схожи с "атомами", неделимыми объектами чувственного восприятия, описанными Демокритом (460–370 до н. э.) (см.: [28, с. 468]).

2. Простые несамопринадлежащие множества явно описываются в математике несколько позже, Евклидом (III в. до н. э.), число мыслится как составленное из единиц38 (без указания на их упорядоченность, как в нитях самопринадлежащих объектов), т. е. как простое, конечное, несамопринадлежащее множество. То же представление повторяется и позже (Прокл, Inst. th.): "§6. Всякое множество возникает или из объединённостей ( ), или из единичностей ( ). Ясно ведь, что, во-первых, никакой [элемент] многого не есть [тем самым] просто само множество, и, наоборот, во-вторых, множество не есть каждый из его элементов" [35, с. 460] — такие множества не единомногие.

"1. Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым.

2. Число же — множество, составленное из единиц." [13, т. 2, с.9-10] ("Начала".

Кн. 7: определения).

3. Представления о едино-многом (но не в форме множеств) имелось уже у того же Прокла (410–485) ("Единое и многое в их органическом сращении", заголовок А. Ф. Лосева) [35, с. 484]:

"(§67.) Каждая цельность или предшествует частям единое, или состоит из частей многое, или содержится в части едино-многое. … (§68.) Всякое целое, содержащееся в части, есть часть целого, состоящего из частей едино-многое."

Бесконечность, однако, в математическом (да и философском) мышлении Средневековья представлялась в упорядоченном виде, потенциальной (с актуально бесконечными последовательностями и бесконечными рядами не оперировали) либо актуальной, являвшейся пределом, не допускающим дальнейшего продолжения. Такова последовательность причин, сводимых к некоторой первопричине, упоминаемая Ибн-Синой (980-1037). Таковы же представления о бесконечности, являющейся пределом увеличения у Николая Кузанского [26; 32]: +1=.

4. На четвёртой стадии исторического развития возникает абстракция актуальной бесконечности. Так, Фонтенель (1657–1757; см.

"Элементы бесконечного") употреблял операции с бесконечными величинами (о чём упоминал Маклорен (1698–1746; "Трактат о флюксиях")39: /n : = 1/n, и т. п., прогрессии 1, 2, 3, …2, и т. п… У Эйлера же (1707–1783) операции с числами "за бесконечностью" совершенно осмысленны и в отличие от предыдущего этапа (3) уровни бесконечного чётко отличимы [117, с.93–95]: "их бесконечно малые нужно непременно отличать друг от друга, если наше внимание обращено на то их соотношение, которое выражается геометрическим соотношением", "так как а/dx есть бесконечное количество А, то, очевидно, количество А/dx будет количеством, в бесконечное число раз большим, чем a/dx… Итак, есть бесконечно много ступеней бесконечных количеств, из которых каждая бесконечно больше предыдущей." И при описании "дифференцирования непредставимых функций" Эйлер употреблял последователи для бесконечных величин (последователей) [117, с. 512, 518 и след.]: "количества S||, S|+1|, S|+2| и т. д. будут составлять арифметическую прогрессию…"40.

На 4-м уровне операции с бесконечными величинами используют представления о простых бесконечных последователях (PN-, РNPNпоследователях).

5. Кантор (1845–1918) мыслил бесконечные структуры аналогичКоренцова М. М. Концепция бесконечного в "Трактате о флюксиях" Маклорена (Маклорен и Фонтенель) [6, с. 71–73].

Индексы — PN(), P(PN()),… но недостижимым объектам, не предполагая ограниченности ряда "алефов" (письмо Дедекинду из Галле от 28 июля 1899 г.) [15, с.

367]:

"Система всех алефов,…,1,00, 0+1,…, 1,… при их расположении по величине … образует бесконечную последовательность".

Недостижимые кардиналы, появившиеся в описании множеств немного позже (см. [8, с. 234–235; 25]), аналогичны недостижимым последователям41 вида PO().

Однако у Кантора нет ещё представления о том, что ряд всех алефов (включающий и недостижимые кардиналы) является частью множества всех множеств, это связано с тем, что Кантор исключал из рассмотрения самопринадлежащие объекты, оперируя только с несамопринадлежащими множествами.

6а. Самоподобные структуры, описывающие в теории с самопринадлежностью пространственные структуры, не имеют аналогов в предшествующих историко-математических представлениях.

6б. Бесконечные структуры в теории множеств с самопринадлежностью, заключённые внутри неизмеримого и неупорядочиваемого бесконечного множества всех множеств M, вбирают в себя описанные ранее (п. 1–6) представления о бесконечных структурах (см. главу 3).

§21. Самоописательность в теории множеств Историческое усложнение представлений о бесконечных (упорядоченных) объектах совпадает с усложняющейся последовательностью структур теории множеств с самопринадлежностью. Таким образом, в теории множеств с самопринадлежностью, описывающей и более ранние, более простые представления о бесконечных упорядоченных структурах, имеется элемент самоописательности своего исторического становления — одна из составляющих теоретического критерия истинности, что также совпадает с наличием самоописательности в схеме отражения действительности в сознании (см. рис. 1б, гл. 1). Более того, возрастное изменение представлений о бесконечности аналогично прослеженному в истории. Таким образом, самоописательность относится и к возрастному становлению познания, а уже на основании его к историческому изменению представлений.

При этом, поскольку "обобщённая континуум гипотеза [8, с. 235] влечёт, что всякое недостижимое кардинальное число является сильно недостижимым", она не верна, т. к. в теории с самопринадлежностью имеется бесконечный ряд (доминантных) недостижимых последователей, структурно-изоморфных один другому.

Таблица 3. Соответствие структур множества М и исторически усложнявшихся представлений № Объект теории с само- Объект исторических Исторический уровпринадлежностью представлений период ня

–  –  –

Из историко-философских сравнений — логика (отношений несамопринадлежащих классов) Аристотеля.

Из философских категорий — представление о ряде последовательных причин в средневековой философии.

Фрактальные объекты — отдалённый и лишь внешне похожий аналог, нестандартный анализ (А. Робинсон), в котором предполагается, что (на прямой) окрестность каждой точки подобна по устройству всей числовой прямой, отчасти схож с описанным самоподобием объектов.

Часть 2. Приложения основных результатов Глава 5.

О некоторых приложениях семантики самопринадлежности

Ниже кратко описаны приложения семантики самопринадлежности и полученных ранее результатов теории множеств с самопринадлежностью в различных областях, а именно:

Описано доказательство теоремы в теории множеств с самопринадлежностью о конечности области моделей для лямбда-исчисления;

указано, что результат этой абстрактной теоремы совпадает с очевидным фактом конечности внутренних состояний электронной вычислительной машины [121].

Представлен краткий вариант доказательства теоремы о неполноте предикативной формальной системы [58]; описана модель двузначной логики с обоснованием закона исключения третьего.

Рассмотрено доказательство теоремы о стягивании циклов с самопринадлежностью в один объект (тождественности такого цикла одному объекту) и приложение её семантики в математической лингвистике — тождественность цикла непредикативных определений одному непредикативному определению.

Описано доказательство теоремы о конечной алгоритмизуемости (вычислимости) оптимального планирования (оптимальной нормы прибыли) с использованием более ранней теоремы о существовании неподвижной точки финансового оборота в условиях безынфляционности и результатов теории множеств с самопринадлежностью.

§22. Приложения к -теории Введение Лямбда-исчисление (-исчисление) описывает основания программирования на алгоритмических языках (см.: [5; 42]). Значимым вопросом в -теории является вопрос о построении моделей этой теории, причём, как отмечалось ещё в 60-е гг.45, "в бестиповом -исчислении объекты служат как аргументами, так и функциями, которые применяются к этим аргументам" [5, c. 99]. Поэтому "ввиду бестипового характера этой теории было неясно, как строить модели для неё" [5, c.17], в идеале "семантика для -исчисления соcтояла бы из области D, такой, что её пространство функций DD изоморфно D" [5, с. 99]. В теории неDD D, самопринадлежащих множеств такое вложение или Exp(D) D невозможно ввиду того, что для несамопринадлежащих Скоттом в 1969 г. См.: Skott D. S. Models for the -calculis: Manuscript (unpublished). 1969. 53 p. (цит. по: [5, с. 99, 582]).

множеств если DD, то Exp(D) D. Ниже описано построение модели в теории множеств с самопринадлежностью.

Доказательство теоремы о модельной области

В теории множеств с самопринадлежностью описывается ряд объектов, обладающих указанным выше для модельной области свойством:

Eхр(Х) = Х. Это прежде всего такие объекты, как (пустое множество, ничто, Exp() = ) и М (множество всех множеств, Exp(M) = M), которые, однако, не могут являться модельной областью D, указанной выше (, ничто, очевидно почему, а М "столь велико", что не обладает свойством полной упорядоченности (см.: [50], гл. 3). Из вполне упорядочиваемых объектов свойством Eхр(Х) = Х ввиду транзитивности отношения принадлежности для самопринадлежащих множеств обладают натуральные (конечные числа), самопринадлежащие множества вида 1 = {1}, 2 = {1, 2}, 3 = {1, 2, 3} и т. д.

Как указано в главе 2, натуральный ряд в М выделяется как множество простых последовательных последователей к ничто (или к начальному, единичному элементу ряда):

N = {[х]М |([х]) или ([x]=Pn(), где nN и Р(V(Р(х))) = х) 46}.

Свойства натурального ряда:

1. Натуральный ряд — неединственен.

2. N — несамопринадлежаще, NN.

3. Внутренность натурального ряда совпадает с самим натуральным рядом, V(N) = N, что означает невозможность обратного счёта от абстракции бесконечности объектов счётного числового ряда к конечным числам 47.

Теорема 9 (о модели лямбда-исчисления). В теории множеств с самопринадлежностью модельными областями для -исчисления являются только конечные натуральные числа.

Доказательство. По свойствам самопринадлежащих множеств, если n N, то Ехр(n) = n, для 1={1}, Ехр({1}) = 1 — очевидно; для 2 = {1, 2} Ехр(2 = {1, 2}) = {{1}, {2}, {1, 2}} = (по транзитивности принадлежности для самопринадлежащих множеств {2} = {1, 2}) = {{1}, {1, 2}, {1, 2}} = (вычёркивание одинаковых записей) = {{1}, {1, 2}} = (слияние многого, взятого как многое в одно многое, удаление лишних скобок вида "{…}") = {1, 1, 2} = (вычёркивание одинаковых записей) = {1, 2} = 2, и т. д. для остальных n из N.

Это условие означает, что у всякого объекта из N точно один простой последователь.

Более абстрактно — бесконечная последовательность внутренностей натурального ряда неубывающа и совпадает с самим натуральным рядом.

Однако Exp(N) N, т. к. N N, то N как единичный объект принадлежит Exp(N), [N] Exp(N), с другой стороны (см. выше), [N] N, значит, Exp(N) N.

Следовательно, для любого вполне упорядоченного объекта A из М, иного, чем конечные натуральные числа, A N, Exp(А) A, что означает, что модельной областью в теории множеств с самопринадлежностью для лямбда-исчисления являются только конечные натуральные числа, обладающие требуемым свойством: Ехр(n) = n. Теорема доказана.

Заключение Результат теоремы о конечной вычислимости в его более пространном истолковании таков, что семантика языков программирования, задаваемая -исчислением, задаваема только на конечной вполне упорядоченной области (самопринадлежащих множеств, натуральных чисел). Доказанный результат удивительно точно совпадает с действительностью — в действительной цифровой электронной вычислительной машине множество её внутренних состояний определяется конечным (вполне упорядоченным) набором машинных слов (команд процессора и массива обрабатываемых данных) мощностью, равной n = 2m, где m — количество разрядов в машинном слове48.

§23. Приложения к логике Предисловие С допущением семантики непредикативных (самоссылочных) утверждений кратко описывается вполне очевидный факт того, что в предикативной формальной системе, такой, что следствия из аксиом и утверждений, выведенных из аксиом (причём в способах вывода нет ссылок на сами выводимые утверждения), не содержат утверждения о непротиворечивости всей этой формальной системы, потому что это утверждение в своём выводе ссылалось бы на само себя.

Ранее в главе 1 необходимое наличие в сознании таких утверждеЕсли чуть углубиться в философско-математическую область, то иерархия упомянутых теорий будет такова: 1) теория объектов, множеств с самопринадлежностью, допускающей бесконечные объекты сверхсчётной мощности, но замкнутые внутри множества всех множеств М; 2) теория обозначений и подстановок этих обозначений на место переменных, допускающая при некоторой неопределённости, открытости процесса обозначаемости настающих текущих событий потенциальную неопределённость ("бесконечность") вариантов обозначений; 3) собственно вычислимость (определённое -исчисление) на уже обозначенной и конечной, и ограниченной области объектов (конечная, исполняемая программа).

ний было обосновано из гносеологических соображений49 (см. также:

[53]).

Простейший пример непредикативных конструкций, строгое определение понятия натурального числа как самопринадлежащего объекта приведены в работе [46], см. также главу 2 настоящей работы. Например, 1 = {1}, 2 = {1, 2}, 3 = {1, 2, 3} и т. д., т. е. (по сути, — ничто, Ехр = ), 1 1, 1 2, 2 2 и т. д. (как при счёте на пальцах, пальцы не поменять местами, в числе "двойка" они неравнозначны, хотя считаемые предметы могут быть равнозначны, например отдельные камешки,— в том разница между числами, которые являются абстрактными категориями, и вещественными предметами). Более подробно построение числовой системы со строгой формализацией уровней бесконечности описано в работе [50] и в главе 3 настоящей работы.

Итак, в семантике рассуждений вполне допустимы непредикативные самоссылочные конструкции, применение которых непротиворечиво и оправдывается практикой, что позволяет выразить математическим языком описание утверждения 1-го абзаца §23.

Предварительные рассуждения

Пусть существует предикативная теория Т, такая, в которой имеется набор аксиом (схем аксиом) Аi и выводимые утверждения Вj:

(Ai1, …, Ain, Вj1,..., Вjm ) |= Вj0, (10) причём при определённых правилах вывода общее свойство этих правил вывода по условию предикативности системы таково, что выводимое утверждение не содержится в том наборе утверждений, из которых оно выводится, не содержится в цепи вывода от аксиом до себя самого, т. е. в формуле (10), Вj0 {Ai1, …, Ain, Вj1,..., Вjm}, (11) и утверждения, из которых выводимо Вj0, невыводимы из него (т. е. по условию предикативности — отсутствие круга в выводе), неполучаемы с участием Вj0, D0 = {Ai1, …, Ain, Вj1,..., Вjm}, Dk D0, Bj0 | Dk. (12) Говоря иначе, пусть VL — внутренность высказывания (выводимого высказывания или аксиомы) такова, что содержит все высказывания, из которых выводится данное высказывание. Для аксиом VL(Аi) =, т. е. аксиомы в предикативной системе постулируются выводимыми Они основываются на онтологических представлениях о том, что самоосознание человека созерцает себя непосредственно и поэтому познаёт себя, и абстрактные категории, и вещественный мир — в основаниях своих и на высшем уровне абстракции непредикативно.

из ничто50, для самого — VL() =, формально. Для высказываний аналогично VL(Вj0) = D0. Очевидно, что внутренности некоторого выводимого высказывания образуют частично упорядоченную решётку R(VL(Вj0)) 51, тогда условие отсутствия круга в выводе записывается так:

Вj0 R(VL(Вj0)), (13) или Dk R(VL(Вj0)), Bj0 | Dk. (14) Таким образом, условия построения предикативной системы описаны. Простейшим примером такой предикативной системы является школьный аксиоматический курс геометрии.

Описание доказательства теоремы Пусть С — высказывание о непротиворечивости теории, т. е. в С утверждается, что все утверждения теории Т таковы, что в этой теории не выводимы и их отрицания. И пусть Т непротиворечива, т. е. высказывание С выполнимо на всех высказываниях этой теории52, т. е. семантически C выводимо из множества всех высказываний теории, в том числе и из себя самого (т. к.

отрицает собственное отрицание при наличии непротиворечивости):

{Ai, …, Вj, …, С} |= С, (15) что противоречит условиям предикативности системы Т. Следовательно, теорема о том, что в предикативной системе недоказуема её непротиворечивость, доказана.

Теорема 10 (Гёделя). В предикативной системе недоказуема её непротиворечивость.

Однако предположение о непредикативности системы являлось лишь начальным условием рассуждений, и в связи с доказанной теоремой допускается иная интепретация результата — непротиворечивость теории недоказуема в предикативных системах, т. е. доказательства непротиворечивости возможны только с допущением непредикативности (самоссылочности) в семантике рассуждений, как, например в теории множеств с самопринадлежностью.

Это уже само по себе странно, т. е. абстрактный средний уровень мышления в этом случае формально оторван от высшего — созерцания в сознании, говоря онтологически. И если аксиомы случайно хоть отчасти отображают созерцательно правильные категории, то это уже хорошо и частично правильно (как в школьной геометрии).

Содержит всевозможные степени внутренностей высказываний, из которых выведено Вj0, т. е. VLr(VL(Вj0)) и т. д. до, поскольку обратное прослеживание цепи выводов обрывается после начальных аксиом.

Важным для использования семантики самоссылочных высказываний является допущение того, что это высказывание уже истинно.

Обсуждение результата В доказательстве теоремы о неполноте, известном ранее (Гёдель, Клини [20; 21], Линдон [27]), которое является достаточно объёмным и где используется при построении определённого вида нумераций, при заданном виде формального алфавита системы тот факт, что Гёделев номер высказывания о непротиворечивости теории будет таков, что не будет совпадать с номерами выводимых формул (в процедуре диагонализации). Само построение таких формальных нумераций достаточно громоздко, при этом используется только семантика вещественной области мышления чисто предикативная, если говорить онтологическим языком. Иной пример использования непредикативных конструкций наблюдается в теории множеств с самопринадлежностью (непредикативной).

Вот пример теоремы, использующей непредикативную семантику (см. гл.

1):

Теорема 4. Пусть М — множество всех множеств.

Тогда совокупность высказываний, описывающих существующие в М объекты, непротиворечива.

Доказательство. Если высказыванием L описан объект А, то отрицание этого высказывания описывало бы дополнение В к объекту А в М, но по теореме о недополнимости это невозможно (самопринадлежащий объект необразуем из объединения двух непересекающихся подмножеств, отличных от него самого), следовательно, высказывания об объектах из М непротиворечивы. Теорема доказана.

Теорема о неполноте Аналогичны рассуждения и о других ограничительных теоремах (5-го уровня развития абстрактного мышления), например при рассуждении о полноте системы.

Пусть F — высказывание о полноте системы, т. е.

F утверждает, что в системе Т выводимы все утверждения, в том числе и само F, но тогда F, если оно верно, семантически (самоссылочно) сказывается о себе самом:

{Ai, …, Вj, …, F} |= F, (16) что противоречит условиям допущения чисто предикативности теории Т. Доказана следующая теорема.

Теорема 11 (о неполноте). Предикативная теория не полна.

Дополнение о модели логики Интересны также результаты описания вложения логики высказываний в означенную теорию множеств. Как известно [22, с. 43], базисом исчисления высказываний является набор логических операций, позволяющих построить полную систему логических функций. Одним из таких базисов является базис, состоящий из операций импликации и отрицания,— в терминах теории множеств этот базис построим следующим образом.

Таблица 4. Сопоставление элементов теорий Исчисление выскаЭлемент теории Теория множеств зываний

–  –  –

В качестве константы, обозначающей выполнимость логической операции ("выполнимость"), определим самопринадлежащий объект М (множество всех множеств)53. В этой двузначной логике однозначно Казалось бы, вместо константы М можно выбрать единичный объект [а] и на объектах [a] и задать двузначную логику, а в случае выбора константы вида 2 = {[1], 2}, где [1] — единичный объект, получить 3-значную логику и т. п. бесконечное количество конечно-значных и бесконечно-значных логик — в зависимости от выбранного объекта-константы, но значение выполнимого логического высказывания, например [а], лежало бы вне области определённых логических констант [а] и. Можно, конечно, пытаться ограничить универсум множеств объектами [а], 2 = {[1], 2} и т. п., пытаясь построить многозначные логики (заключая по теореме о непротиворечивости подтеории, что исчисления высказываний в таких логисм. след. стр.

выполняется закон исключения третьего х = х, ((х ) ) = х (см.

табл. 5), а также иные аксиомы теории исчисления высказываний L [22, с. 46-47]54. Тем самым посредством модели логики в теории множеств с самопринадлежностью доказана теорема.

Теорема 12 (о законе исключения третьего). В двузначной логике отрицание отрицания совпадает с первым отрицаемым, т. е. действует закон исключения третьего: х = х.

Таким образом, вложение логики высказываний в теорию множеств с самопринадлежностью в достаточной мере очевидно55.

Заключение Таким образом, доказательства ограничительных теорем о формальных системах, при допущении семантики самопринадлежащих (самоссылочных, непредикативных) рассуждений, значительно упрощаются, что обеспечивает большую степень понимания их студентами56. К этому же рассуждению примыкает и более сильное ограничительное утверждение об алгоритмической неопределимости понятия вероятностной меры, также использующее семантику самопринадлежащих рассуждений, изложенное отдельно (имеющее приложение в теории управления). То есть использование самопринадлежащих конструкций является вполне приемлемым и позволяет получать фундаментальные математические результаты более ясным путём.

§24. Приложения в матлингвистике Теоремы о стягивании циклов

Рассмотрим цикл объектов с самопринадлежностью:

А1 А2 … An A1, (17) где Аi Ai.

Тогда для объектов Ak и Аk+1, k [1, n] (цикл для k: n+1=1, 1– 1=n), предыдущий принадлежит последующему Ak Аk+1, по определению цикла (17) и по теореме о транзитивности принадлежности ([46], ках непротиворечивы), но это искусственный приём рассуждений.

Причём описание логических констант в теории множеств с самопринадлежностью представляется наиболее естественным, в отличие, например, от описания посредством теории категорий [11, с. 138 и след.].

Кроме того, поскольку для М (и для некоторых других самопринадлежащих множеств) выполняется условие равенства множества всех подмножеств множества самому множеству ExpМ = М, то на М (и этих множествах) легко строится операция замыкания (отображения множества всех подмножеств на само множество [17]), конструирующая дедуктивную систему. Другое дело, что не все объекты из М могут быть объективно известны (к данному моменту процесса их описания).

В том числе в курсе "Философии математики", прочитанном автором в Соликамском государственном педагогическом институте.

гл. 2) Ak+1 Аk, последующий принадлежит предыдущему, значит, по следствию из определения равенства объектов [46] эти объекты совпадают, Ak = Аk+1, т. е. цикл тождественен единственному объекту. Доказана следующая теорема.

Теорема 13 (о стягивании простых циклов). Простой цикл (без ответвлений) самопринадлежащих объектов тождественен единственному объекту.

Наличие ответвлений от цикла не изменяет содержания доказанного утверждения. Пусть цикл таков:

(18) А1 А2 … An A1.

В Тогда В А1 по транзитивности принадлежности самопринаждежащих объектов Аk цикла (18), т. е. В, A1 A2 и В, А2 А1, значит, А1 = А2.

Для произвольного Аk доказывается аналогично: А1 отождествляется с А2, n уменьшается на единицу и рассматривается отождествление следующих двух объектов и т. д. до оставшегося одного объекта, цикл стягивается к объекту вида В А*1.

Если же, наоборот, объект цикла принадлежит некоторому объекту, то рассуждения аналогичны рассуждениям вышедоказанной теоремы, (19) А1 А2 … An A1, В таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 14 (о стягивании циклов с самопринадлежностью).

Цикл принадлежащих один другому объектов с самопринадлежностью (пусть даже и с ответвлениями) тождественен одному объекту.

Приложение к определениям Приложение семантики самопринадлежности в математической лингвистике.

Пусть L — язык, допускающий непредикативные определения (близкий к естественному или даже естественный), и пусть конечное количество определений образуют цикл:

def def def О1 O2 (O1 определяет О2), Оk Ok+1, Оn O1, k [1, n]. Если все def определения цикла непредикативны (самоссылочны), т. е. Оi Oi, i [1, n]57, тогда в интерпретации самопринадлежности Оk+1 Ok образуется цикл с самопринадлежностью и по доказанной выше теореме определения Оi совпадают Оi = Оj = О*1, т. е. круг непредикативных определений тождественен одному определению. Доказана теорема.

Ср. философские определения через род и ближайшее видовое отличие.

Теорема 15 (о стягивании круга определений). Круг непредикативных определений тождественен одному определению.

§25. Приложение в матэкономике Возможность конечной алгоритмизации (вычислимости) планирования экономики (построения оптимального плана как деятельности государства, так и составляющих его экономических субъектов) имеет, очевидно, необходимую прикладную значимость. Описание результатов решения этой задачи на основании недавних результатов о конечных моделях для лямбда-теории в семантике множеств с самопринадлежностью и составляет содержание следующего раздела.

Теорема о конечной вычислимости Основной результат лямбда-теории (оснований теории языков программирования высокого уровня [5; 44]) составляет теорема о неподвижной точке [5, с. 140; § 6.1] и её следствие, гласящее, что если у оператора есть неподвижная точка, то она вычислима (конечно вычислима). Этот результат усилен в теореме о конечной области моделей для лямбда-исчисления в теории множеств с самопринадлежностью — из соображений построения моделей лямбда-теории, где D — совокупность -термов, Exp(D) D (Exp(D) = D). Модельной областью для теории в теории множеств с самопринадлежностью [46] являются конечные натуральные числа; по свойству этих чисел Exp(n) = n, где n N (но Exp(N) N). Подробное доказательство этой теоремы см. в §22).

Таким образом, в интерпретации объединённый смысл вышеприведённой теоремы таков, что если имеется неподвижная точка оператора, то она вычислима посредством конечного алгоритма.

Кроме того, есть также более ранняя теорема о неподвижной точке финансового оборота (неподвижной точке оборота общественно необходимого времени в экономике) при условии безынфляционности, более подробно см. в работах [45; 48]. В другой интерпретации — теорема об оптимальной норме прибыли экономических субъектов, об оптимальной норме прибыли государственного бюджета и внутригосударственных экономических субъектов58.

Объединяя смысл этих теорем и учитывая, что количество внутригосударственных экономических субъектов конечно (и норма прибыли стандартна), получается конечный результат:

Теорема 16 (о конечной алгоритмизуемости, вычислимости, опПозволяет прогнозировать нижнюю границу инфляции и многократно проверена по данным экономической статистики как СССР и России, так и в мировом масштабе (частично библиографию см. в [48]).

тимального планирования). При условиях безынфляционности задача планирования (определения неподвижной точки финансового оборота — оптимальной нормы прибыли — как государственного бюджета, так и бюджетов внутригосударственных субъектов) вычислима посредствоим конечного алгоритма (конечно вычислима).

Дополнение об оптимуме управления Приведённый общий результат имеет и узкоспециальное приложение в практике построения систем статистически оптимального управления сложными химико-технологическими процессами (см., напр.

[49; 54; 55]), а именно в этой предметной области теорема, получаемая аналогичным рассуждением, такова:

Теорема 17 (о конечной вычислимости параметра оптимального управления). При использовании метода пространства состояний (трёхмерного описания параметров химико-технологической системы) неподвижная точка (оптимум управления) вычислима посредством конечного алгоритма (конечно вычислима).

Заключение Описанная теорема как в предметной области математической экономики, так и в предметной области теории управления является фундаментальным обоснованием возможности решения указанных экономических59 и прикладных задач.

Глава 6. Интерпретация теоремы о размерности В этой главе описана одна интерпретация топологического определения размерности посредством приложения результатов теории множеств с самопринадлежностью (теоремы о размерности).

Теорема о конечной вычислимости оптимального плана в экономической предметной области такова, что, если в качестве меры экономических ресурсов, как это неоднократно предлагали советские и российские философы [1, с. 72], в неограниченно продолжающемся будущем использовать меру электрической энергии (кВт/ч) — кстати, единственно возможный в долгосрочной перспективе выход — электрическая энергия, получаемая в единой энергосистеме посредством солнечных батарей (см. обзор в работе [47], поток электрической энергии при занятии 10% площади земной поверхности солнечными батареями таков, что на одного человека приходится мощность 100 кВт/ч за 1 час при 1010 человек населения — многократно больше, чем в развитых странах ныне),— в этом случае при условии стационарного состояния биосферы — совокупного нулевого производства энтропии, у оператора совокупного энергооборота (и энергооборота отдельных экономических субъектов) также имеется неподвижная точка — мера оптимума энергозатрат, направленная на самоподдержание экономики (материально-техническое обслуживание и инфраструктуру), такая, что и в этих условиях оптимальное планирование экономической деятельности конечным образом алгоритмизуемо (вычислимо).

Описана интерпретация топологического определения размерности, связанная с теорией графов, показано соответствие между размерностью и хроматическим числом графа Кn, строимого на базисных векторах пространства, описано понятие ориентированного пространства, доказана иным способом, с привлечением теории графов, теорема об ограниченной размерности ориентированного пространства; указано на естественный способ построения ориентированных пространств в теории множеств с самопринадлежностью.

Определение размерности по Лебегу накрытиями для области и пространства таково: пространство (область) имеет размерность m, если имеет накрытие объединением m+1 выпуклых множеств.

§26. Интерпретация в терминах теории графов Вышеприведённое определение размерности допускает такую интерпретацию. Область, общая для множеств накрытия, должна содержать минимально n+1 различных точек, принадлежащих всем n+1 минимально накрывающим множествам, где n — размерность пространства. При этом на этих n+1 точках, как на вершинах графа, соединяемых попарно рёбрами, строится граф Kn+1, являющийся n+1 раскрашиваемым графом.

Заметим, что в n-мерном пространстве вершины n базисных векторов и начало координат также являются вершинами графа Kn+1, более того, всякий фрагмент этого n-мерного пространства (в окрестности какой-либо точки, в которую переносится начало координат) устроен, в смысле структуры направлений базисных векторов, точно так же.

В связи с вышесказанным можно различать в геометрическом смысле одинаковые (и различающиеся только по обозначению) оси по раскраске графа, Kn+1, построенного на базисных векторах, однако такое различение не имеет геометрического смысла и является различением только по обозначению. В геометрическом же смысле оси пространства различаемы при введении дополнительных ориентирующих векторов, соединяющих попарно вершины базисных векторов, при этом теоретически возможно 2n различных ориентаций n-мерного пространства.

§27. Ориентированные пространства Как уже сказано, в ориентированном пространстве задаются дополнительные, соединяющие попарно вершины базисных векторов, ориентирующие направления (см. рис. 7 для двухмерного случая).

Ориентация задаваема также и посредством определяющих соотношений (с привлечением теоретико-групповых методов). Для указанного двухмерного случая рассмотрим группу по сложению, образованную единичными базисными векторами a и b.

Эта группа коммутативна (знак операции сложения в записи для простоты опускаем), ab=ba (определяющее соотношение). Сами базисные вектора друг от друга ничем, кроме обозначения, неотличимы. Если же ввести ориентацию, то добавится ещё одно определяющее соотношение b=ax, где х соответствует ориентирующему плоскость вектору.

Аналогично для трёхмерного пространства (см. рис. 8, определяющие соотношения пропускаем). В трёхмерном случае наблюдается одно отличие от двумерия, если двумерие было абсолютно однозначно ориентировано, каждый фрагмент плоскости ориентирован одинаково, то в трёхмерии имеется плоскость, рассекающая куб по диагонали, соединяющей первые два базисные вектора и параллельная 3-й оси, такая, что она (плоскость) ориентирована неоднозначно,— эта неоднозначность ориентации каких-либо противоречий в определяющих соотношениях не влечёт. Но естественно задаться вопросом: а не накладывает ли ориентация ограничений на размерность пространства, т. е. не возникает ли в пространствах большей размерности каких-либо иных неоднозначностей ориентации, влекущих противоречия?

–  –  –

§28. Теорема об ограниченности размерности Рассмотрим четырёхмерный случай (см. рис. 9). Для упрощения представления вершины куба обозначены в двоичной форме. Ей соответствует буквенное обозначение базисных векторов 1111=dcba. Определяющие соотношения таковы:

ab=ba, bc=cb, cd=dc, da=ad — задают базисные отношения, далее ориентирующие соотношения, b=ax (плоскость), с=by=az (куб), d=ap=qb=rc (четырёхмерный куб). Легко заметить, что плоскость P1, соединяющая вершины (1000, 0100, 1010, 0110), и плоскость P2 (0100, 1000, 1001, 0101), как и для трёхмерного пространства, неоднозначно ориентированы, поэтому вектор, соединяющий точки A и B (1010, 0101), является противоречиво ориентированным, а это показывает, что ориентированного четырёхмерия не существует.

–  –  –

a 0001 Рис. 9. Четырёхмерие фиктивное Рассмотрим то же в определяющих соотношениях. В плоскости P1 диагональ, соединяющая вершины 1010 и 0100, равна элементу bdPrP1(y), где PrP1(y) — проекция на плоскость P1 (по направлению d) направления, задаваемого элементом (вектором) y. В плоскости P2 диагональ (1000, 0101) — acPrP2(p), где PrP2(p) — проекция на плоскость P2 (по направлению c) направления, задаваемого элементом (вектором) p.

Следовательно, при проекции этих двух направлений на отрезок АВ получаем соотношение abdPrP1(y)=bacPrP2(p), ввиду коммутативности выражение слева сокращается, значит, dPrP1(y)=cPrP2(p), т. к. d=rc, то rcPrP1(y)=cPrP2(p), по коммутативности rPrP1(y)=PrP2(p), что не имеет места,— поскольку получено противоречие, то четырёхмерное ориентированное пространство невозможно. Доказана следующая теорема.

Теорема 18 (об ограниченной размерности). Ориентированное пространство не более чем трёхмерно.

Это доказательство носит характер отвлечённый от природы ориентируемых объектов (от их самопринадлежащих структур) и поэтому действенно и для классического определения пространства (без привлечения семантики самопринадлежности).

В теории множеств с самопринадлежностью эта теорема доказывается аналогично: ориентация пространства задаётся посредством отношения принадлежности при выстраивании дополнительной ориентирующей структуры множеств, кроме как определяющей координатные направления (рисунки совершенно идентичны).

Таким образом, максимальный ориентирующий граф в ориентированном пространстве — это граф К4 — максимальный плоский из графов вида Kn. Этим доказанная теорема связана с теоремой о 4-раскрашиваемости плоских графов [12, с. 253-254; 56].

Заключение При введении понятия ориентированного пространства показано, что ориентированность пространства накладывает ограничения на его размерность — ориентированное пространство не более чем 3-мерно.

Кроме того, изложенный материал иллюстрирует тесную связь и геометрических понятий (понятий "непрерывной" математики) и некоторый понятий теории графов и теории множеств ("дискретной" математики) в связи с понятием размерности.

Глава 7. Обход парадоксов §29.

Разрешение парадоксов принадлежности Отсутствие в теории с самопринадлежностью парадокса Рассела показано ранее (см. гл. 2, §9).

Кроме парадокса Рассела в теории множеств без самопринадлежности известны сходные парадоксы [125], разрешимые аналогичным образом.

Парадокс класса всех фундированных классов (парадокс Мириманова): класс В называется фундированным (нефундированным), если есть (нет) такая последовательность классов. Парадокс заключается в том, что допущение фундированности класса всех классов либо допущение его нефундированности приводят к противоречию, аналогичному противоречию в парадоксе Рассела.

Класс всех фундированных классов при интерпретации этого его свойства в теории множеств с самопринадлежностью совпадает с объектом А (множеством Рассела) в разрешении парадокса Рассела. Класс всех нефундированных классов при той же интерпретации — это множество, содержащее все самопринадлежащие множества (а, значит, и само М), совпадающее с М (по свойству транзитивности принадлежности для объектов, принадлежащих самопринадлежащим множествам).

Таким образом, в теории множеств с самопринадлежностью описанный выше парадокс не то что бы не имеет места, но разрешён конструктивным образом.

Парадокс всех классов С без круга [125] является расширением парадокса Рассела, попытка построить в теории множеств без самопринадлежности класс С всех классов без круга, т. е.

не содержащих кругов вида:

В ВSi … B2 B1 = B, (20) при некоторых si, приводит к противоречию. То же самое при построении класса всех классов без n-членного круга (si = n).

По доказанным ранее теоремам о стягивании циклов цикл объектов (20) вышеозначенного парадокса тождественен единственному самопринадлежащему объекту. По теореме о недополнимости непустого объекта в М дополнение к множеству всех циклов (некоторого вида) — непостроимо, т. е. этот парадокс в теории множеств с самопринадлежностью отсутствует.

Таким образом, в непротиворечивой теории множеств с самопринадлежностью устранены конструктивным образом (а не исключением из рассмотрения) парадоксы круга принадлежности.

§30. Отсутствие парадокса Кантора Парадокс Кантора — парадокс теории множеств, использующей только несамопринадлежащие множества, который демонстрирует, что предположение о существовании множества всех множеств в этой теории ведёт к противоречиям.

Теорема Кантора [40], являющаяся отправной точкой рассуждений этого парадокса, о том, что мощность множества всех подмножеств множества больше мощности множества, |Exp(A)| |A|, имеет место только для несамопринадлежащих множеств, поэтому "наибольшего" несамопринадлежащего множества не существует.

Для некоторых самопринадлежащих множеств имеет место |Exp(B)| = |B|, т. к. Exp(B) = B (где B B; см. выше §22). Поэтому заключение теоремы Кантора в теории множеств с самопринадлежностью не создаёт парадокса. Действительно, Exp(M) = M (где М — множество всех множеств) и бльших множеств операцией взятия множества подмножеств не построить.

§31. Отсутствие парадокса Бурали-Форти В теории множеств без самопринадлежности парадокс БуралиФорти демонстрирует, что предположение о существовании множества всех порядковых чисел ведёт к противоречиям [40].

Утверждение о том, что объединение порядковых чисел — порядковое число, являющееся основой этого парадокса, имеет место только в теории, которая утверждает, что множество подмножеств пустого множества не пусто, что на самом деле, в теории с самопринадлежностью, не имеет места (см. §6) Exp() =, где. К тому же в теории множеств с самопринадлежностью натуральный ряд чисел не единственен (имеется больше двух структурно-изоморфных натуральных рядов, объединение которых не является порядковым множеством), что не даёт оснований для построения этого парадокса.

Наибольшим множеством, содержащим в себе все порядковые числа (упорядоченные нити последователей), является множество всех множеств, М, которое не является упорядоченной (самоподобной) нитью объектов, т. е. числом (см. §18). Таким образом, в теории с самопринадлежностью парадокс Бурали-Форти не имеет места.

Действительно, легко заметить, что теория множеств с самопринадлежностью свободна от парадоксов теории множеств Кантора, необоснованно использовавшей только несамопринадлежащие множества.

Глава 8. Около континуум-гипотезы В связи с доказанной ранее некорректностью диагонального метода (Зенкин) переобоснованы посредством семантики самопринадлежности теоремы Гёделя, а также утверждения о несчётности количества точек прямой; указано на возможность лишь счётного количества обозначений, построен пересчёт обозначений n-ичных разложений чисел на отрезке [0, 1).

В 1997 г. А. А. Зенкин опубликовал [14] результаты, подтверждающие некорректность диагонального метода Кантора. В связи с этим возникает потребность анализа и переобоснования базирующихся на этом диагональном методе утверждений, что и сделано далее с использованием семантики самопринадлёжности, введённой русским математиком Д. Миримановым ещё в 1917 г. [40].

§32. Краткое доказательство теорем Гёделя Подробно основания структур с самопринадлежностью и сами эти структуры описаны отдельно [50; 46]; см. также главы 2, 3. Для понимания этого параграфа достаточно интуитивного представления о несамопринадлежащих (XX) и самопринадлежащих (YY) объектах.

Теоремы Гёделя доказываются достаточно кратко. Пусть имеется предикативная теория Т, такая, в которой имеется набор аксиом (схем аксиом) Аi, и выводимые утверждения Вj, (Ai1, …, Ain, Вj1,..., Вjm) |= Вj0, (21) причём выводимое утверждение не содержится в цепи вывода от аксиом до себя самого, т. е. в левой части формулы (21), которую безотносительно её содержания обозначим через L, {Ai1, …, Ain, Вj1,..., Вjm} = L, Вj0 L.

Теорема 10. В предикативной системе недоказуема её непротиворечивость.

Теорема 11 (о неполноте предикативной системы). Предикативная теория — неполна.

Схемы доказательств этих теорем одинаковы: непредикативные утверждения о непротиворечивости или полноте предикативной теории Т не являются в самой этой теории выводимыми виду того, что эти утверждения в их выводе ссылаются на себя самих.

Пусть С — высказывание о непротиворечивости теории, т. е. в С утверждается, что все утверждения теории Т таковы, что в ней (теории

Т) не выводимы и их отрицания. И пусть Т непротиворечива, т. е. высказывание С выполнимо на всех высказываниях этой теории (важным для использования семантики самоссылочных высказываний является допущение того, что это высказывание уже истинно), т. е. семантически C выводимо из множества всех высказываний теории, в том числе и из себя самого (раз отрицает собственное отрицание при наличии непротиворечивости), {Ai, …, Вj, …, С} |= С, (22) C L, что противоречит условиям предикативности системы Т (C L).

Следовательно, теорема 10 о том, что в предикативной теории недоказуема её непротиворечивость, доказана.

Пусть F — высказывание о полноте системы, т. е. F утверждает, что в системе Т выводимы все утверждения, в том числе и само F, но тогда F, если оно верно, семантически (самоссылочно) выводится и из себя самого {Ai, …, Вj, …, F} |= F, (23) F L, что противоречит условиям допущения чисто предикативности теории Т (F L). Теорема доказана.

Однако предположение о непредикативности теории Т являлось лишь начальным условием рассуждений, в связи с доказанными теоремами допускается и иная интепретация результата — непротиворечивость теории недоказуема в предикативных системах, т. е. доказательства непротиворечивости возможны только с допущением непредикативности (самоссылочности) в семантике рассуждений, как, например, в теории множеств с самопринадлежностью.

Теорема 19. Непротиворечивость и полнота теории недоказуемы средствами самой этой предикативной теории.

Таким образом, без применения диагонального метода передоказаны теоремы Гёделя. Поскольку в этих теоремах (1–3) не упоминался совершенно тип логики, посредством которого осуществляется вывод в теории Т 60, то эти теоремы действенны в отношении множества предикативных теорий с произвольными правилами вывода (в т. ч. на использующие многозначную, модальную и т. п. логики).

Следующие утверждения связаны с отношением счётности и несчётности множеств.

§33. Несчётность количества точек на прямой При описании упорядоченных структур в теории множеств с самопринадлежностью было указано, что объекты, определяющие структуру прямой, самоподобны, т. е. обладают свойством структурной изоморфности объекта его собственному подобъекту.

Определение 5. Внутренность объекта А содержит объекты, принадлежащие объекту А, за исключением самого объекта А;

V(А)={[х]М |([х]) или ([x]А и АV(А))}.

Определение 6. Два объекта структурно-изоморфны, если они Вообще эта логика может быть не только двузначной.

изоморфны и совпадают по структуре, т. е. А В, если А В (изоморфизм : AB) и если для любых а1, a2 A, (а1)=b1, (a2)=b2, b1,b2 B, имеет место (а1 a2) (b1 b2).

Определение 7. Объект А собственно внутренний по отношению к объекту В, если он принадлежит В, но не принадлежит ряду внутренностей объекта В.

Определение 8. Объект самоподобен, если структурноизоморфен подобъекту, собственно внутреннему по отношению к этому же объекту.

Для самоподобных объектов C и D одной прямой, D С, или С D или D = С, причём в любом случает имеет место структурный изоморфизм D C. Для объектов натурального ряда (натуральных чисел) свойство структурной изоморфности, очевидно, не выполняется,— натуральные числа одно другому структурно неизоморфны. Следоваб) a) 0 … 9 9 слой 1 2 3 слой 1 2 3 Рис. 10. Фрагменты 2-дерева (а) и 10-дерева (б) тельно, самоподобные объекты — несчётны. Доказана теорема.

Теорема 20. Количество точек на прямой — несчётно.

§34. Счётность количества обозначений Очевидно также, что, располагая конечным алфавитом, можно иметь не более чем счётное количество обозначений. Множество подмножеств конечного множества конечно. Счётное повторение этой операции для начального конечного множества даёт счётное множество.

Даже в случае, если имеется счётный алфавит, но сами обозначения содержат конечное число символов, итоговое количество обозначений счётно (ввиду счётности множества конечных подмножеств счётного множества).

Таким образом, следует различать точки на прямой (как показано выше, их несчётное количество) и их десятичные обозначения, которых по вышесказанным соображениям счётное количество. Остаётся построить пересчёт этих обозначений.

§35. Счётность простых деревьев Представления чисел на отрезке [0, 1) в n-ичной системе счисления (c m разрядами) изоморфны n-дереву (глубины m), что очевидно. На рис. 10а выделенная линия соответствует числу 0,011…, на рис. 10б — 0,089…. (номер слоя соответствует порядковому номеру цифры за запятой).

Пересчёт n-дерева организуется следующим образом: считается 1-й слой, затем — 2-й, далее — 3-й и т. д. В m-дереве для всякой вершины r-го слоя её номер не более чем nr. Для всех n и r из N, nr N, из чего следует счётность количества вершин дерева, а значит, и счётность количества n-ичных обозначений чисел на отрезке [0, 1).

Таким образом, несчётность множества точек на прямой и счётность количества n-ичных обозначений чисел на отрезке [0, 1) согласуются друг с другом. Доказана теорема [87].

Теорема 21. Число десятичных обозначений чисел — счётно.

Следствие. Число n-ичных обозначений чисел, где n конечно,— счётно.

Как показано, классические утверждения (теоремы Гёделя, утверждения о несчётности числа точек на прямой) доказуемы и без диагональных рассуждений, в семантике самопринадлежности. Счётность количества обозначений — счётность количества n-ичных обозначений чисел на отрезке [0, 1) не противоречит тому, что объектов мысли (точек на прямой) несчётное число, не всё из существующего (мыслимого) можно обозначить.

§36. О мощности самоподобных множеств Рассмотрим самоподобное множество А, задающее порядок на прямой, обозначим количество объектов в объекте Аi (его мощность) через, |Ai|=, где Аi — некоторый недостижимый последователь, содержащийся в А. По изложенным выше соображениям (конечный алфавит обозначений) таких недостижимых последователей обозначениями можно выделить не более чем счётное (строго говоря конечное число).

Интересен следующий вопрос: сколько объектов находятся между Ai и Ai+1?

С одной стороны, недостижимые последователи структурноизморфны, то их мощности равны — |Ai|=|Ai+1|=|Aj|=. С другой стороны, если между Ai и Ai+1 r объектов и r, то, т. к. выделено счётное число Аi, имеем общее число объектов во всей бесконечной цепочке — r|N|, что противоречит начальному предположению о том, что |Aj|=.

Значит, теорема доказана.

Теорема 22 (о количестве точек на прямой между двумя разными точками). Количество объектов в самоподобном объекте и между любыми его подобъектами, соответствующих различным недостижимым последователям, равно одной величине — мощности этого множества.

Записывая формально, имеем +=, сложение некоммутативно (не допускает обращения в вычитание, т. к. убывающие цепи внутренностей не обрываются). То есть есть мощность упорядоченного (в простейшем случае на прямой) континуума.

Следующий вопрос, требующий разрешения,— о мощности множества всех множеств.

§37. Дополнение: о мощности множества М По доказанной ранее теореме 8 множество всех множеств — несамоподобно, поэтому из предыдущей теоремы очевидно, что мощность множества М больше чем мощность самоподобного множества, |M|==|A|, где А — самоподобно. (Иначе бы существовал изоморфизм М на А или на подмножество А, что противоречит тому, что в М имеется кроме А бесконечное количество самоподобных объектов). Доказана теорема (см. [92]).

Теорема 23 (о мощности М). Мощность множества М больше, чем мощность самоподобного объекта.

Таким образом, мощность множества М является максимальной, однако М — не упорядочено отношением принадлежности.

Вопрос о том, имеются ли определённые мощности, промежуточные между мощностью самоподобного множества и мощностью множества всех множеств, является неразрешимым ввиду невозможности структурирования объектов, промежуточных между этими множествами в виде некоторых последователей.

Главa 9. Теорема о неподвижной точке Описан аналог теоремы Какутани о неподвижной точке [16].

В теории множеств с самопринадлежностью эта теорема в интерпретации позволяет формализовать принцип самоприменимости (неотчуждаемости) экономической деятельности, созерцательно качественно описанный ранее [57].

О самоприменимости (конструктивных целей) экономической деятельности писали ранее исходя из тех соображений, что несамоприменимая (отчуждённая) деятельность большей частью деструктивна (как то: производители табака сами не курят и детям своим не позволяют, разве что пересыпают им вещи от моли…); ниже описана некоторая простая формализация этого принципа, достаточно хорошо совпадающая с действительностью (см. [90], [94]).

§38. Формулировка теоремы Предварительные сведения. Рассматривается теория множеств с самопринадлежностью, непротиворечивая, полная, но не аксиоматизируемая.

Рассмотрим отображение f : X Exp(X), (24) где Exp(X) — множество всех подмножеств множества Х.

Неподвижная точка x0 отображения f понимается в обычном смысле:

f(x0) = x0 61.

Теорема 24 (о неподвижных точках).

Неподвижными точками многозначного отображения множества всех множеств в множество всех его подмножеств, g : M Exp(M), являются:

а) единичные объекты [x] = g([x]) = x (Exp([x]) = [x]);

б) самопринадлежащие множества, такие что AA, A = g(A) 62;

Строгость неподвижности может быть ослаблена, x1 слабо-неподвижная точка отображения f если x1 структурно-изоморфно подмножеству из f(x1) (определение структурного изоморфизма см. выше), экономические интерпретации в этом случае далее по тексту аналогичны, в (2) равенство В = Exp(B) заменяется на структурный изоморфизм, т. е. неподвижная точка x1 такова, что x1 x1 и как один и тот же объект x1 f(x1), x1 является частью его образа и одновременно, как тот же объект, ему принадлежит (что выполняется только для самопринадлежащих множеств C C, C Exp(C) ).

Определение. Два объекта структурно изоморфны, если они изоморфны и совпадают по структуре, т. е. А В если А В и если для любых а1, a2 A, b1, b2 B, (а1 a2) (b1 b2).

Пример. Объекты А = {[а], А} и 2 = {1, 2} — структурно изоморфны, объекты А и С = {[c1], [c2]} — изоморфны, но не структурно (А С), A [a].

В общем случае может быть и A Exp(A), например, С = {a, b, С}, [{a, b}] C, см. след. стр.

в) в том числе само множество М (т. к. МM и Exp(M) = M);

г) пустое множество, = g() = (Exp() = ), обобщая а)…г), неподвижные точки — все самопринадлежащие объекты со свойством X = Exp(X).

Доказательство. Очевидно, следует из свойств множеств 63.

Эта теорема даёт абстрактное математическое выражение созерцательно усматриваемому прежде неё принципу самоприменимости целей экономической деятельности (в широком смысле — неотчуждаемости), который кратко описывается так: конструктивная (сохраняющая воспроизводство системы ценностей) деятельность является и самоприменимой (несамоприменимость связана с деструкцией…).

§39. Интерпретация теоремы Рассмотрим (созерцательно) экономическую систему, в которой производится некоторый набор товаров (в общем случае и услуг), в определённой системе управления (законов и т. п., которые в данном случае вне внимания, рассматривается собственно экономическая область), тогда циклы производства и обмена описываются общей схемой (поскольку любой набор товаров (и услуг) есть некоторый товар (услуга), то весь набор товаров и услуг B таков, что B = Exp(B) ):

ft1 ft2 ft3 B B = Exp(B) B = Exp(B) и т. д., (25) в общем случае в стационарном состоянии fti = ftj, i, j I (рекомбинация товаров и услуг в процессе производства).

Тогда неподвижные точки этого отображения суть экономические субъекты:

а) отдельные товары (и услуги), (модель — единичные объекты),

б) некие комплексы товаров (и услуг), производимые предприятиями и аналогичными по масштабу экономическими субъектами, (модель — самопринадлежащие объекты промежуточные между единичными и самим М, неединичные и неравные М)64;

в) вся государственная экономика в целом (модель — М);

г) пребывание в созерцательном покое, вне обмена товарами (и [{a, b}] Exp(C).

Эта теорема является аналогом теоремы Какутани о неподвижной точке (см.:

[16, с. 630]), в теории множеств с самопринадлежностью.

Непустота этих объектов в экономическом смысле очевидна, в математическом следует из существования множеств, промежуточных между единичными объектами и M и отличных от натурального ряда, обладающих требуемым теоремой свойством.

услугами) (модель — ) 65.

Самопринадлежность истолковываема как самоприменимость по отношению к работникам (семьям трудящихся) этих товаров (и услуг), которые они производят.

То есть несамопринадлежащие объекты (несамоприменимые) не являются неподвижными точками, т. е. не являются подлинными экономическими единицами, о чём в качественном смысле много было сказано ранее.

Более того, такая формально-математическая троечастность неподвижных точек совпадает с действительной структурой экономики:

а) домашние хозяйства, производящие и потребляющие внутри себя единичные объекты потребления (как то: кашу на завтрак, выстиранную пелёнку или заплатку);

б) промышленные предприятия и аналогичные по масштабу экономические субъекты;

в) государство в целом, о чём в связи со структурированием бюджетов трёх этих видов экономических субъектов писалось ранее 66.

Вне семантики самопринадлежности рекомбинация товаров и услуг (отображение множеств (25)) не может быть описана по теореме Кантора о мощности множества всех подмножеств несамопринадлежащего множества, которая в этом случае превышает мощность самого несамопринадлежащего множества.

Заключение Таким образом, описанный аналог теоремы Какутани о неподвижной точке и его интерпретация дают формальное выражение основополагающему созерцательному принципу самоприменимости для выделения подлинных (конструктивно действующих) экономических субъектов. Хотя выяснить конкретную структуру самопринадлежащих множеств, являющихся неподвижными точками, соответствующими определённым комплексам товаров, вряд ли возможно (имеет небольшой прикладной смысл), более значимо и имеет дальнейшее практическое приложение именно наличие формального подтверждения принципа самоприменимости. К тому же экономические субъекты гораздо сложнее теории множеств, содержат самого человека (субъекта), поэтому обладают свойством открытости, в отличие от множеств, субъекта не Примечательно, что этот частный случай вписывается в этой теории в общую схему.

Описание оборота общественно необходимого времени и нормирования доли (свободно распределяемой) прибыли (эквивалента меры стоимости) в этих экономических субъектах дано посредством основного логистического уравнения x = 1 – xx [57; 60; 61], выводимого из положений теории информации.

содержащих, замкнутых в M. Поэтому применение формальных методов в описании систем с субъектом весьма ограниченно (кстати, даже если множества, являющиеся неподвижными точками, были описаны, то было бы методологически некорректным заключать от их структуры к структуре экономических субъектов, содержащих человека).

Дополнение Описанная интерпретация теоремы о неподвижной точке является ярчайшим примером ограничения применимости математических методов к описанию систем, содержащих неотъемлемо и самого человека.

Так, на 4-м уровне сложности математических понятий (функционально-интегрально-дифференциальных представлениях) невыразима свобода воли человека, неопределимая некоторой функцией. На 5-м уровне сложности (алгоритмические представления) математические понятия не отражают возрастной изменчивости представлений субъекта (комплексов знаний-умений-навыков). На 6-м же уровне даже непредикативные конструкции не в состоянии полностью соответствовать реальным процессам обмена в экономике, поскольку не отражают наличия субъекта как носителя определённой системы ценностей, которому подчинён этот обмен. Таким образом, математические понятия и структуры применимы лишь для упорядочения внешних по отношению к сознанию составляющих бытия — материальных потребностей, затрат времени и т. п.

Так что математический аппарат, пригодный для описания моделей и упорядочения процессов неживой природы в технике и технологиях или для упорядочения информационных процессов в электронных информационных системах, весьма ограниченно (и то более лишь для измерения параметров системы) применим для описания системы, включающей как неотъемлемую часть и самого человека с его сознательной и свободной деятельностью.

Глава 10. Внематематические приложения результатов Выше были рассмотрены приложения основных результатов теории множеств с самопринадлежностью в собственно математической или экономико-математической области.

Кроме этих приложений имеются и другие, относящиеся к областям иным, нежели собственно математическая теория.

–  –  –

Рис. 11. Оптимизационная статистическая диаграмма управления стояния химико-технологического процесса.

Пространство состояний (трёхмерное по вышедоказанным теоремам) соответствует трёхмерности параметров процесса: 1) мера качества процесса; 2) параметр управления; 3) экономический параметр.

(Пример полной оптимизационной диаграммы в пространстве состояний, см. на рис. 11).

Решение задачи управления при фундаментальной обоснованности трёхмерности пространства состояний системы: 1) параметр качества продукта (подпространство Х); 2) параметр управления (подпространство Y); 3) экономический параметр (подпространство Z) — сводится при приложении результатов теории измеримости [115] f g (ХY)Z, отображение g измеримо, если измеримо f, к построению оптимизационной статистической диаграммы в трёхмерном пространстве состояний (см. рис. 11, на примере процесса отгонки), вычислению норм подпространств Х, Y, Z,— Х, Y, Z, перенормировке наблюдений соответственно вычисленных норм, а затем определению по статистической обработке данных оптимума — неподвижной точки оператора управления.

Отображение f — это отображение подпространства параметра качества X в подпространство параметра управления Y, отображение g — это отображение отображения f в подпространство экономического параметра. Оптимум управления находится как управление при получении продукта, соответствующего норме качества с заданной вероятностью при минимальных издержках. В этом заключается основное содержание метода пространства состояний управления качеством химикотехнологических процессов.

Метод пространства состояний управления качеством химикотехнологических процессов является устойчивым вследствие свойств устойчивости применяемых статистических методов и применим к процессам, допускающим выделение одного определяющего параметра качества и одного определяющего параметра управления.

Результаты приложения теоремы о размерности к построению информационных систем управления технологическими процессами описаны в [40; 45; 59; 126; 62–66; 68; 70; 118–120].

Вертикальная 6-уровневая структура информационных систем управления [52; 67] связана с гносеологическими основаниями, указанными в главе 1.

§41. Экономические приложения Некоторые экономические приложения (теорема о неподвижных точках) описаны в предыдущих параграфах. Теорема 7 об ограничении размерности имеет также и экономическую интерпретацию, позволяюСельское хозяйстщую описать трёхмерие системы

–  –  –

§42. Ограничения биологических моделей В полигенной модели соответствия фенотипических признаков генотипу [37] используется предикативный подход, аналогичный предикативному выводу в формальных системах. (Ограничения предикативного подхода были указаны ранее для некоторых классов моделей [119]. В рассматриваемом случае ограничения аналогичны). То есть даже без знания конкретных правил вывода фенотипа из генотипа фенотипические признаки представляются как некоторые предикативные выводы из генотипических аксиом:

(G1, …, Gn) |= Fi, (26) причём Fi (G1, …, Gn) = (условие предикативности), где Gj — фрагменты генома, Fi — фенотипические признаки.

(Если же предполагать сложную, многоуровневую схему формирования признаков, то возможно (G1, …, Gn, FK1, …, FKr) |= Fi, (27) (G1, …, Gn, FK1, …, FKr) Fi =, т. е. формирование фенотипических признаков обусловлено наличием иных признаков, проявляющихся в той или иной мере зависимо и от влияния окружающей среды).

Тогда на схемы (26) и (27) действуют ограничения теоремы Гёделя о неполноте (см. выше), т. е. в предикативной формальной теории L, содержащей правила вывода (26) или (27), имеются утверждения, невыводимые из аксиом (G1, …, Gn). Это означает, что в L имеются утверждения (фенотипические признаки), не обусловленные генотипом и средой (которая также предикативно учитывается). Если привлекать к этим рассуждениям негенотипическую наследственность (наследственность через митохоиндральные РНК и т. п.), то ограничения остаются точно такими же. Таким образом, вследствие ограничений предикативного аппарата описания наследственности имеются фенотипические признаки, не обусловленные известной материальной наследственностью.

То есть "центральный постулат генетики который гласит, что развитие и свойства организма определяются дискретным фактором наследственности — геномом" [43], подлежит в свете вышеозначенных ограничений уточнению, в том плане, что существует некоторая мера этой определённости, меньшая единицы, ввиду, как следует из теорем Гёделя, наличия признаков, не определяемых геномом67.

Религиозному мировоззрению эти выводы лишний раз указали бы на наличие Творца, продолжающего и сейчас творить мир и всё живое и человека, поддерживая жизнь (как сказал поэт, "Творца, творящего творенье,— оно им живо и сейчас…");

но материалистическому мировоззрению эти ограничения лишь указывают на ограниченность научного знания в этой области на современном этапе развития науки.

Часть 3. Дополнения Глава 11.



Pages:   || 2 | 3 |
Похожие работы:

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова" Актюбинский региональный государственный университет имени К. Жубанова Центр научного сотрудничества "Интерактив плюс"Образование и наука: современные...»

«ГУ р ВОПРОСЫ СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ Ка й ри о Монография ит Том 9 з по Ре Москва УДК 08 ББК 94 В74 Редакционная коллегия: Бабаева Ф.А., канд. пед. наук, Коренева М.Р., канд. мед. наук, Беляева Н.В., д-р с.-х. наук Понькина А.М., канд. Беспалова О.Е., канд. филол. наук, искусствоведения, Б...»

«НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ Moscow Technological МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ Institute ИНСТИТУТ О. А. Ханчич АНИЗОТРОПНЫЕ СТРУКТУРЫ В ПОЛИМЕРАХ И ИХ ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДОМ МАЛОУГЛОВОГО РАССЕЯНИЯ ПОЛЯРИЗОВАННОГО СВЕТА монография Москва УДК 541.64:539.2 Утверждено к печати Ученым Советом НОУ...»

«Торф: возгорание торфа, тушение торфяников и торфокомпозиты Монография Москва ФГБУ ВНИИ ГОЧС (ФЦ) УДК 630*43(470+571) ББК 43.4(2Рос) Т61 Авторы: Л.Б. Хорошавин, О.А. Медведев, В.А. Беляков, Е.В. Михеева, В.С. Руднов, Е.А. Байтимирова.Рецензент: И.А. Нуруллин, генерал-майор, декан факультета гражданс...»

«Хоменко О.Е.УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИИ ДОБЫЧИ ЖЕЛЕЗНЫХ РУД ИЗ ОХРАННЫХ ЦЕЛИКОВ Министерство образования и науки Украины Национальный горный университет О.Е. Хоменко УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИИ ДОБЫЧИ ЖЕЛЕЗНЫХ РУД ИЗ ОХРАННЫХ ЦЕЛ...»

«Т.Б.ДЛУГАЧ ПРОБЛЕМА БЫТИЯ В НЕМЕЦКОЙ ФИЛОСОФИИ И СОВРЕМЕННОСТЬ Москва УДК141 ББК 87.3 Д–51 В авторской редакци Рецензенты: доктор филос. наук В.Б.Кучевский доктор филос. наук Л.А.Маркова Длугач Т.Б. Проблема бытия в немецкой философии и современность. — М., 2002. — 000 c. Д–51 Монография посвящена рассмотре...»

«И.В. Жежеленко, А.К. Шидловский, Г.Г. Пивняк, Ю.Л. Саенко, Н.А. Нойбергер Электромагнитная совместимость потребителей Монография Москва Машиностроение УДК 537.53 ББК 31.211 Э45 Рецензенти: В. В. Зорін, д-р техн. наук, проф. (Національний технічний університет України "КПІ", м. Київ, Україна); М.А. Короткевич, д...»

«Д. В. Зеркалов ПРОДОВОЛЬСТВЕННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ Монография Электронное издание комбинированного использования на CD-ROM Киев „Основа” УДК 338 ББК 65.5 З-57 Зеркалов Д.В. Продовольственная безопасность [Электронний ресурс] : Монография / Д. В. Зеркалов. – Электрон. данные.– К. : Основа, 2009. – 1 электрон. опт. диск (...»

«ББК 87 Н84 Носков Ю.А. Русский космизм. Москва, 2017 Издание шестнадцатое, переработанное и дополненное. Редакция от 30.07.2017г. Первая редакция от 15.05.2002г. Настоящая монография является одной из составляющих пятикнижия Свет русской цивилизации. Предлагаемая вниманию читателя раб...»

«Министерство образования и науки Украины Государственное высшее учебное заведение "НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Т.Н. Жужгина-Аллахвердян ФРАНЦУЗСКАЯ РОМАНТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУР...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "ТЮМЕНСКИЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" БЕМБЕЛЬ Сергей Роберто...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ВЫСШЕЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ "НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" В.В. КОВАЛЕНКО А.П. РЯЗАНЦЕВ ОБОСНОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СПОСОБА БОРЬБЫ С ПУЧЕНИЕМ ПОРОД ПОЧВЫ В УСЛОВИЯХ УГОЛЬНЫХ ШАХТ Монография Днепропетровск НГУ УДК 622.831.3 ББК 33.14 К 56 Рекоменд...»

«Институт социальных наук Иркутского государственного университета Иркутское отделение Российской социологической Ассоциации В.А. Решетников, Т.М. Хижаева Социальная реабилитация...»

«Казахстанский институт стратегических исследований при Президенте Республики Казахстан Альмухамедова Н.С., Каримова М.С., Жолдыбалина А.С. ЗЕМЕЛЬНАЯ ДИСКУССИЯ: ХРОНОЛОГИЯ, СОДЕРЖАНИЕ, ИТОГИ Астана, 2016 УДК 332 ББК 65.32-5...»

«КОЗЛОВ А.С. УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ ПРОГРАММ И ПРОЕКТОВ: ПРОЦЕССЫ И ИНСТРУМЕНТАРИЙ (МОНОГРАФИЯ) МОСКВА — 2010 г. УДК 005.8 ББК 65.050 К 592 Козлов А.С. К 592 Управление Портфелем Программ и Проектов: процессы и инструментарий. Монография. – М.: ЗАО "Проектная ПРАКТИКА", 2010. – 350 с. Для практического...»

«О.А. Бояркина ВОДНЫЕ КОНФЛИКТЫ В МИРОВОЙ ПОЛИТИКЕ: ПРОБЛЕМЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ Монография Москва УДК 327.56 ББК 66.4 Б86 Рецензенты: З.А. Дадабаева, д-р полит. наук, А.Г. Задохин, д-р полит. наук, проф. Бояркина, Оксана Александровна. Б86 Водные конфликты в мировой п...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В.Н. Малинин УРОВЕНЬ ОКЕАНА: НАСТОЯЩЕЕ И БУДУЩЕЕ Монография Санкт-Петербу...»








 
2017 www.kniga.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.