WWW.KNIGA.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Онлайн материалы
 

«Введение В наступающем 2007 году исполняется 80 лет с момента написания Р. Кронигом и Х.Крамерсом знаменитых интегральных соотношений Крамерса-Кронига. ...»

ОБОБЩЕННЫЕ СООТНОШЕНИЯ

КРАМЕРСА-КРОНИГА

Г.И.Шипов

shipov@aha.ru, website http://www.shipov.com

Введение

В наступающем 2007 году исполняется 80 лет с момента написания Р. Кронигом

и Х.Крамерсом знаменитых интегральных соотношений Крамерса-Кронига. Эти соотношения связывают действительную Re() и мнимую Im() части комплексной

диэлектрической восприимчивости () = Re() + iIm():

+

1 Im(z)

Re() = P dz, (I) z + Re(z) Im() = P dz. (II) z Здесь символ Р означает, что интегралы берутся в смысле главного значения.

Через диэлектрическую восприимчивость () определяется комплексная диэлектрическая проницаемость () и комплексный показатель преломления n() среды n2 () = () = 1 + ().

(B.1) Комплексный показатель преломления n() = () = 1 + () = Re n() + iIm n() = n + in имеет следующую физическую интерпретацию:

a) реальная часть n комплексного показателя преломления определяет скорость распространения света в диэлектрике v = c/n ;

б) мнимая часть n комплексного показателя преломления отвечает за поглощение света в среде в соответствии с формулой I = I0 exp[k (n )l], где I - интенсивность света после прохождения в диэлектрике расстояния l, а k (n ) - коэффициент затухания, определяемый через n и зависящий от частоты света.

Таким образом, мнимая часть диэлектрической восприимчивости Im() определяет поглощение света в среде, а действительная часть Re() - показатель преломления (или скорость света в среде). Зная поглощение света в среде, мы можем с помощью соотношения (I) вычислить его показатель преломления и наоборот, с помощью соотношения (II) можно вычислить поглощение света, зная показатель преломления.



Другим важным физическим свойством соотношений Крамерса-Кронига является связь этих соотношений с принципом причинности. Действительно, при воздействии на среду внешнего электрического поля E, = 1, 2, 3 возникает вектор поляризации P = + E,,... = 1, 2, 3, (B.2) где + - тензор диэлектрической восприимчивости, у которого знак + означает, что поляризация P и поле E связаны причинно-следственной связью так, что внешнее поле является причиной, а поляризация диэлектрика следствием (временное запаздывание поляризации). Для простоты, в соотношениях (I) и (II) тензорные индексы опущены. Кроме того, в соотношениях Крамерса-Кронига опущены также знаки + и Рис. 1: Особая точка z = сдвинута на величину в нижнюю полуплоскость, поэтому функция + аналитична в верхней полуплоскости

-, причем знак минус соответствует опережающей поляризации (опережающая поляризация имеет место в микромире).

Используя математический аппарат функции одного комплексного переменного, можно выразить диэлектрическую восприимчивость, аналитичную в верхней полуплоскости через ее мнимую и реальную часть по следующей формуле:

–  –  –

1 Дисперсионные соотношения для многофотонных процессов Еще одна круглая дата исполняется в 2007 году - 40 лет с момента когда были найдены дисперсионные соотношения, для нелинейных тензоров электромагнитной восприимчивости. С бурным развитием лазерной техники в 60x годах прошлого столетия, использующей сильное электромагнитное излучение (E, H 106 ед. СГСЕ), были экспериментально обнаружены различные нелинейные процессы, например, сложение и вычитание частот лазерного излучения в нелинейных кристаллах.





Для этих явлений формула (B.2) обобщается, принимая вид [1] P = + E + + E E + + E E E +..., (1),,,... = 1, 2, 3, где + (1 2 ), + (1 2 3 ) - тензора квадратичной, кубичной и т.д. нелинейной восприимчивости. Для описания наблюдаемых нелинейных процессов, за которые ответственны тензора нелинейной восприимчивости, важно было знать, каким дисперсионным соотношениям удовлетворяют эти тензора. Задача по выводу дисперсионных соотношений для тензоров нелинейной восприимчивости была поставлена передо мной в моей дипломной работе "Дисперсионные соотношения для многофотонных процессов"[2], Леонидом Веньяминовичем Келдышем, ныне академиком РАН.

До появления моей работы ряд авторов [3]-[6] уже делали попытки найти дисперсионные соотношения для нелинейной электромагнитной восприимчивости, однако полученные в этих работах дисперсионные соотношения подобны соотношения м Крамерса-Кронига I и II.

Вопрос об аналитических свойствах тензоров нелинейной восприимчивости представляет определенный интерес, так как аналитичность восприимчивости, как было отмечено ранее, связана с причинностью [7] и другими физическими характеристиками.

<

1.1 Дисперсионные соотношения для квадратичной нелинейной восприимчивости

Мы будем рассматривать дисперсионные соотношения для тензоров нелинейной восприимчивости в рамках классической электродинамики, считая, что эти тензора аналитичны в верхней полуплоскости своих переменных. Математическую основу обобщенных дисперсионных соотношений составляет интегральное представление Коши для функции многих комплексных переменных, которое гласит [8]: пусть () аналитична в области G = G1 G2...Gn, где Gj - область в плоскости j с кусочногладкой границей Gj и непрерывна в каждой Gj, тогда справедливо представление Коши

–  –  –

Здесь точки z1, z2,...zn принадлежат соответственно областям G1, G2,...Gn.

Соотношение (2) для n = 1 есть ни что иное, как обычное одномерное представление Коши. Докажем его для n = 2 [9]. В самом деле, для (1 2 ) имеем область аналитичности G = G1 G2. Выберем в G1 точку z1, а в G2 точку z2. Так как z1 G1, а z2 G2, имеем

–  –  –

где (1 z2 ) - аналитична в G1, а (z1 2 ) - аналитична в G2.

Если точка z1 находится внутри области G1, то по теореме Коши для одного комплексного переменного имеем:

–  –  –

где знак + соответствует функции ++ или, а знак - соответствует функции + или +, причем функция ++ (1 2 ) - аналитична в верхней полуплоскости обеих переменных; + (1 2 - аналитична в верхней полуплоскости 1 и в нижней полуплоскости 2 ; + (1 2 ) - аналитична в нижней полуплоскости 1 и в верхней полуплоскости 2 ; - аналитична в нижних полуплоскостях обеих переменных.

Пусть теперь функция (1 2 ) соответствует одной из компонент тензора + квадратичной электромагнитной восприимчивости и является аналитической в верхней полуплоскости переменной 1. Тогда интеграл (5) представляет собой функцию аналитическую в верхней полуплоскости переменной 1. Следует ожидать, что и функция (6) аналитична в верхней полуплоскости переменной 2, поскольку 1 и 2 входят в интегралы (5) и (6) равноправно и мы могли бы поменять их местами.

Таким образом, компонента тензора квадратичной электромагнитной восприимчивости оказывается аналитической функцией в верхних полуплоскостях обеих переменных. Физически это означает, что макроскопическое состояние среды в момент времени t может зависеть от значений взаимодействующих полей только в более ранние моменты времени. Заметим, что квантовый подход к вопросу аналитичности нелинейных восприимчивостей может быть аналитической функцией как в верхних, так и в нижних полуплоскостях [10]. Однако усреднение по ансамблю и исключение из рассмотрения отрицательных частот (переход к классической электродинамике) исключает возможность существования нелинейных восприимчивостей в нижних полуплоскостях комплексных переменных 1 и 2.

В дальнейшем мы будем рассматривать только "классические"электромагнитные нелинейные восприимчивости, считая что они являются аналитическими функциями в верхних полуплоскостях всех своих переменных. Нас прежде всего будут интересовать связи между действительными и мнимыми частями тензоров нелинейной восприимчивости. Для этого мы воспользуемся формулами (B.3) и выразим функции (5) и (6) через интегралы в смысле главного значения

–  –  –

Таким образом, интегралы (12)- (17) представляют собой полный набор дисперсионных соотношений для компонент тензора квадратичной восприимчивости среды.

1.2 Дисперсионные соотношения для нелинейной восприимчивости произвольного порядка

–  –  –

n = 2k, k = 1, 2....

В частности, трехчастотные дисперсионные соотношения для кубичной восприимчивости подобны соотношениям Крамерса-Кронига в том смысле, что они связывают реальную и мнимую части.

Поскольку мнимая часть восприимчивости ответственна за поглощение поля в среде, то можно предполагать, что нелинейные процессы при нечетном числе взаимодействующих частот идут с поглощение поля в среде. Процессы же, в которых участвует четное число частот, идут без поглощения поля в среде. Иными словами, нелинейные процессы с участием четного числа частот могут идти в абсолютно прозрачной анизотропной среде.

Далее, в случае нечетного числа частот, зная только мнимую или действительную часть восприимчивости, можно восстановить всю восприимчивость как комплексную функцию в целом. Для восприимчивости, зависящей от четного числа частот, необходимо знать как действительную, так и мнимую части. Только в этом случае восприимчивость может быть восстановлена полностью.

Заключение Полученные нами обобщенные соотношения Крамерса-Кронига могут быть успешно использованы не только в нелинейной оптике. Их можно применять при исследовании аналитических свойств сингулярных решений волновых уравнений классической и квантовой теории поля, например функций Грина в квантовой электродинамике [11].

При использовании разработанного формализма в квантовой теории поля, необходимо учитывать аналитичность исследуемых функций как в верхней, так и в нижней полуплоскостях для положительных и отрицательных частот. Я надеюсь, что формулы (18) и (19)позволят в будущем получить в квантовой теории поля много новых и неожиданных результатов, особенно при описании нелинейных процессов с участием многих частиц.

Я глубоко благодарен Л.В.Келдышу за выбор весьма интересной области исследования, связанной с обобщением соотношений Крамерса-Кронига. Именно эта работа стимулировала мои дальнейшие исследования в области теоретической физики и, в конечном счете, привела к созданию Теории Физического Вакуума [12].

Список литературы [1] Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики. АН СССР, Ин-т научной информ,1964.

[2] Шипов Г.И. Дисперсионные соотношения для многофотонных процессов. Дипломн. работа, Физифак, МГУ, 1967.

[3] Бломберген Н. Нелинейная оптика. М., Мир, 1965.

[4] Коган Ш.М. ЖЭТФ, т. 43, № 7, 1962.

[5] Price P.I. Phys.Rev., v. 130, 1963.

[6] Caspers W.I. Phys/rev., v. 133, 1964.

[7] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М., Гостехиздат, 1957.

[8] Владимиров В.С. Методы теории функций многих комплексных перменных.

М., Физматгиз, 1946.

[9] Фукс Б.А. Теория аналитических фкнкций многих комплнесных переменных.

М., Физматгиз, 1946.

[10] Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзяшиловский И.Е. Методы квантовой теории поля в стастической физике. М., Физматгиз, 1962.

[11] Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1969, с75-81.

[12] Шипов Г.И. Теория физического вакуума, теория, эксперименты, технологии М.:

Похожие работы:

«Автор составитель Сецко А.Н. Конспект занятия по обучению грамоте в старшей группе. "Звук и буква И" Под мышлением понимается высшая форма человеческого познания, отражающая обобщенно и опосредованно окружающую действительность, устанавливающая связи и отношения между...»

«РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ (19) (11) (13) RU 2 526 961 C1 (51) МПК A61N 5/067 (2006.01) A61C 5/04 (2006.01) A61K 33/16 (2006.01) A61K 33/34 (2006.01) A61K 33/06 (2006.01) A61K 31/355 (2006.01) ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА A61P 1/02 (2006.01) ПО ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СОБСТВЕННОСТИ (12) ОПИСАНИЕ ИЗОБРЕТЕНИЯ К ПАТЕНТУ 2013110204/14, 06.03.2013 (21)(22) Зая...»

«Cмерч. “Смерч — это разумное существо, интеллект которого складывается из интеллекта его жертв. Чтобы скрыть свои тайны, он охотится за теми, кто близок к их раскрытию, и убивает их, избавляясь от врага и попутно становясь еще умней” Рэй Бредбе...»

«Самоорганизующиеся карты Teuvo Kohonen Self-Organizing Maps Third Edition With 129 Figures and 22 Tables Springer АДАПТИВНЫЕ И ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ Т. Кохонен Самоорганизующиеся карты Перевод 3-го английского издания В. Н. Агеева под редакцией Ю. В. Тюменцева 2-е издани...»

«Правила Пользования электрической энергии Экспертная группа Правила пользования электрической энергией Утверждены постановлением Правительства Республики Казахстан от 7 декабря 2000 года N 1822 1. Общие положения 1. Настоящие Правила определяют взаимоотношения энергопроизводящих, энергоснабжающих и энерго...»

«УДК 378.4 М.А. Генькина, г. Харьков Ответственность в системе формирования духовности студентов инженерных специальностей В статье говорится об ответственности как о явлении, показана прямая связь этого качества и долж...»

«Урок доброты "Жизнь без улыбки – просто ошибка!"Цель: познакомить учащихся с общечеловеческими ценностями: улыбчивость и доброта.Задачи: 1.Показать значение улыбки в жизни человека для установления доброго отношения между людьми.2. Воспит...»

«ЦЕРКОВЬ В СРЕДНИЕ ВЕКА А.А. Ткаченко О ЧЕМ СПОРИЛИ КЛЮНИЙЦЫ И ЦИСТЕРЦИАНЦЫ? СОЦИОКУЛЬТУРНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ЦВЕТА ОДЕЖД СРЕДНЕВЕКОВЫХ МОНАХОВ Изучение социокультурных функций цвета – одно из динамично развивающихся направлений в современной исторической науке1. Хроматическая реа...»

«Ваш ребенок стал объектом травли сверстников? Ситуацию можно исправить, ведь Вы — рядом с ним!Ребенок часто приходит из школы в подавленном настроении, слезах и даже ссадинах: сверстники избрали его мишенью для острот и злы...»

«Интеллектуальный фонд "Социотехника" Институт перспективных технологий МОДЕЛИРОВАНИЕ ВРЕМЕНИ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ И ГУМАНИТАРНЫХ НАУКАХ: философский и теоретический аспекты Сборник научных трудов Под редакцией В.С. Чуракова Новочеркасск "НОК" УДК 004.7:316.77(063) ББК 32.973:202 М 74 Редакционная коллегия: В.С. Чураков (председатель редакционной коллегии), П.Д. Кравченко, А.М. Анисов, Т.П. Лолаев, Г.С. Мельников, В...»








 
2017 www.kniga.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.