WWW.KNIGA.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Онлайн материалы
 

Pages:   || 2 | 3 |

«ДЕФОРМИРОВАНИЕ НАРАЩИВАЕМЫХ ТЕЛ ПОД ДЕЙСТВИЕМ МАССОВЫХ СИЛ ...»

-- [ Страница 1 ] --

российская академия наук

Институт проблем механики

На правах рукописи

Паршин Дмитрий Александрович

ДЕФОРМИРОВАНИЕ НАРАЩИВАЕМЫХ ТЕЛ

ПОД ДЕЙСТВИЕМ МАССОВЫХ СИЛ

01.02.04 – механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

д.ф.-м.н., профессор

А.В. Манжиров

Москва – 2006 Оглавление Введение 5

0.1 Базовые определения....................... 7

0.2 Обзор литературы......................... 8

0.3 Описание работы......................... 14

0.4 Определяющие соотношения линейной теории вязкоупруго сти однородно стареющих изотропных тел........... 20

1. Общие уравнения................................. 20

2. Одноосное растяжение.............................. 21

3. Случай единого ядра ползучести........................ 23

4. Вязкоупругие характеристики стареющего материала и их возможные аппроксимации................................... 23

0.5 Задача о деформировании наращиваемого тела........ 26

1. Особенности деформирования наращиваемых тел............... 26



2. Основные соотношения квазистатики кусочно-непрерывно наращиваемых тел при малых деформациях........................... 26

3. Преобразование общей квазистатической задачи для кусочно-непрерывно наращиваемого линейно вязкоупругого однородно стареющего тела.. 31 Глава 1 Наращивание шара в центральном силовом поле 37 Введение................................. 38

1.1 Постановка задачи........................ 39

1.2 Напряженно-деформированное состояние шара до начала на ращивания............................. 41

1.3 Деформирование шара в процессе его непрерывного роста.. 46

1.4 Деформирование шара после остановки роста......... 49

1.5 Напряженно-деформированное состояние кусочно-непрерывно наращиваемого шара............

–  –  –

Список литературы 228 Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию законо мерностей эволюции напряженно-деформированного состояния упругих и стареющих вязкоупругих изотропных тел в процессе их кусочно-непрерывного наращивания в полях массовых сил различной природы. Изуча ются квазистатические процессы деформирования, сопровождающиеся малыми деформациями.

Введение

Множество природных явлений и технологических процессов сопро вождается увеличением размеров и изменением формы твердых тел за счет присоединения к ним дополнительного материала. При исследова нии такого рода процессов важно учитывать особенности постепенного притока нового вещества к поверхности тела при одновременном дей ствии нагрузок. Этого нельзя осуществить в рамках классической меха ники деформируемого твердого тела, даже если рассматривать традици онные уравнения и граничные условия в переменной во времени области.

В качестве механической нагрузки в указанных процессах часто вы ступают массовые силы. Это силы, возникающие в результате действия на тело физических полей (силы тяжести, кулоновские силы), силы инер ции, вызванные движением тела в пространстве как жесткого целого (прежде всего, центробежные силы), силы взаимного притяжения (на пример, гравитационного) частиц материала.





С постоянным действием сил тяжести приходится считаться при рас чете постепенно возводимых строительных сооружений (зданий, плотин, насыпей) и последовательно монтируемых конструкций значительных размеров, при исследовании процессов формирования массивных при родных объектов (намерзание ледников и ледяного покрова, зарождение осадочных и вулканических горных пород), процессов роста монокри сталлов. Силы кулоновского взаимодействия играют ключевую роль в технологических процессах электролитического формования или нанесе ния покрытий электростатическим способом, а следовательно, не могут быть исключены из рассмотрения и при анализе напряженно-деформированного состояния изготавливаемых подобным образом изделий. Цен ВВЕДЕНИЕ тробежные силы необходимо принимать во внимание в случае наращи вания вращающихся тел, в частности, при моделировании ряда техно логических процессов изготовления или усиления элементов конструк ций и деталей машин и нанесения на них покрытий. К таким процес сам можно отнести намотку или напыление материала на вращающуюся оправку или заготовку. Без учета сил гравитационного взаимопритяже ния частиц, а при некоторых условиях еще и центробежных сил инерции, не обойтись при изучении процессов формирования массивных космиче ских объектов в результате аккреции.

Элементы материала, присоединяемые к телу в процессе его наращи вания, нередко подвергаются предварительному деформированию, вызы вающему возникновение в них начальных напряжений. В таком случае в растущем теле будут формироваться поля напряжений и деформации да же при отсутствии внешней нагрузки. Примерами здесь могут служить силовая намотка или строительство с использованием предварительно напряженных конструктивных элементов.

Следует заметить, что деформирование растущего тела, также как и классического тела постоянного состава, может быть обусловлено не только различного рода силовыми воздействиями, но и определенными физическими факторами, не выражающимися в виде таких воздействий, например, температурным полем. Влияние этих факторов на напряженно-деформированное состояние рассматриваемых объектов во многих процессах (таких, к примеру, как кристаллизация металлических распла вов или отверждение полимерных растворов) может оказаться определя ющим. Однако данный аспект проблемы наращивания деформируемых тел ниже рассматриваться не будет.

Многие реальные искусственные и природные материалы (бетон, по лимеры, лед, горные породы, грунты, древесина) проявляют ярко выра женные свойства ползучести и старения, то есть способны деформиро ваться при фиксированных нагрузках, а их механические характеристи ки изменяются с возрастом под действием тех или иных физико-химических механизмов. Ясно, что в силу существенной зависимости от времени протекающих в них деформационных процессов, процессы наращивания тел с использованием таких материалов обладают целым рядом специфи ческих особенностей и при этом достаточно сложны для моделирования.

Однако исследование именно этих процессов весьма актуально с точки зрения разнообразных инженерных и физических приложений.

0.1. Базовые определения 7

0.1 Базовые определения

Введем некоторые первоначальные определения, которые будут ак тивно использоваться в дальнейшем и частично потребуются уже в сле дующем вводном параграфе.

Следуя уже установившейся терминологии, под наращиваемым (или растущим) телом будем понимать такое деформируемое твердое тело, которое в процессе деформирования пополняется новыми материальны ми элементами, присоединяемыми к его поверхности. Часть границы рас тущего тела, к которой в данный момент времени присоединяется до полнительный материал, назовем (текущей, или мгновенной) поверхно стью роста. Считается, что присоединение дополнительного материала происходит в условиях полного сцепления частиц на этой поверхности.

Понятно, что в общем случае она может оказаться несвязной, а в частном случае покрывать всю границу рассматриваемого тела.

Если за каждый бесконечно малый промежуток времени к поверхно сти тела присоединяется лишь бесконечно тонкий слой материала, то речь идет о процессе непрерывного наращивания (или роста) в про тивоположность дискретному процессу, когда к телу мгновенно присо единяются элементы не бесконечно малых размеров. Если этапы непре рывного роста чередуются с интервалами времени, в течение которых отсутствует приток к телу дополнительного материала, то следует гово рить о кусочно-непрерывном1 наращивании [49].

В общем случае предполагается, что процесс наращивания начинает ся с присоединения материала к поверхности некоторого уже существу ющего твердого тела, которое в результате определенных механических или иных воздействий начинает деформироваться за некоторое время до этого момента. После начала наращивания оно становится частью рассматриваемого растущего тела, которую будем называть его исход ной частью (или исходным телом). Однако в частном случае процесс непрерывного роста может начаться и без участия исходного тела. В этом случае возникает приток материала, например, к некоторому точечному центру или какой-либо жесткой поверхности (данные варианты также рассматриваются в настоящей работе).

При любом варианте наращивания ту часть созданного в результате него твердого тела, которая образована из всего поступавшего во вре Следует заметить, что данный термин не связан здесь с тем смыслом, который обычно при писывается ему в математическом анализе. Что же касается изменения во времени объема кусочно-непрерывно наращиваемого тела, то оно, очевидно, происходит непрерывным образом.

ВВЕДЕНИЕ мя его роста дополнительного материала, будем называть дополнитель ной частью (дополнительным телом). Части, сформированные в кусочно-непрерывном процессе на различных этапах непрерывного роста, следуя [49], назовем субтелами. Заметим, что эти части в общем слу чае могут являться несвязными и иметь довольно сложную структуру с точки зрения геометрии распределения в них моментов включения раз личных частиц в состав рассматриваемого тела.

Те поверхности внутри наращиваемого тела (вообще говоря, несвяз ные), с которых в процессе роста начиналось формирование отдельных субтел, назовем базовыми поверхностями (роста). Первоначальная ба зовая поверхность представляет собой, очевидно, ту часть граничной поверхности исходного тела, к которой начинается приток дополнитель ного материала в первый момент процесса наращивания. Ясно, что лю бая из базовых поверхностей в общем случае может не совпадать со всем подмножеством точек границы сформированного на ней субтела, отделя ющим это субтело от уже существовавшей к моменту начала его форми рования части наращиваемого тела.

0.2 Обзор литературы Задачи о механическом поведении наращиваемых тел обладают в об щем случае целым рядом специфических черт и образуют особый класс задач механики деформируемого твердого тела (см. § 0.5). Это было по нято сравнительно недавно (в начале 50-х гг. прошлого столетия), после чего начались систематические исследования в данной области, которые и сегодня еще не могут претендовать на завершенность.

Поскольку в настоящей работе будет идти речь только о процессах кусочно-непрерывного (и, как частный случай, непрерывного) роста, то в этом параграфе мы проследим ключевые моменты в истории изучения лишь такого рода процессов и обсудим основные результаты, достигну тые в соответствующем направлении механики.

А. По всей видимости, первая постановка задачи, которую в соответ ствии с приведенной выше классификацией следует отнести к задачам о непрерывном наращивании, была описана в монографии [79] 2 (как ука зано в данном руководстве, подобные задачи уже в 1930 г. предлагались на выпускных экзаменах студентам Кембриджского университета). Речь В оригинале: Southwell R.V. An introduction to the theory of elasticity for engineers and physicists.

Oxford: University Press, 1941. VII + 509 p.

0.2. Обзор литературы 9 шла о намотке на деформируемую круговую трубу многослойного прово лочного бандажа с произвольным, в общем случае, переменным натягом.

Моделирование проводилось для плоского случая в рамках линейной изо тропной теории упругости без учета динамических эффектов. Реальный процесс укладки витков проволоки в рассматриваемой модели заменялся процессом непрерывного увеличения наружного радиуса трубы за счет последовательного присоединения к ней элементарных кольцевых слоев материала, подвергнутых предварительному растяжению. Решение стро илось по существу предельным переходом от соответствующего дискрет ного процесса, в котором необходимо суммировать приращения напря жений, вызываемые присоединением каждого очередного слоя. Резуль тирующее напряженное состояние тела находилось в итоге с помощью процедуры интегрирования.

Описанный пример очень наглядно демонстрировал эффект возник новения и развития полей напряжений в теле в результате постепенного добавления к нему новых изначально напряженных элементов.

Б. Тот же подход, что и в [79], был использован Э.И. Рашбой в ориги нальной работе [78] для определения в плоском приближении квазистати ческих упругих напряжений в бесконечно протяженном (в горизонталь ном и вертикальном направлениях) склоне, непрерывно наращиваемом предварительно не напряженными горизонтальными тяжелыми слоями по закону подобия формы. Эта работа стала первым исследованием, в котором решалась механическая задача о наращивании некоторого твер дого тела в поле массовых сил.

Кроме того, в ней впервые было явно указано на:

а) невозможность использования условий совместности деформаций при расчете напряженного состояния наращиваемого тела и

б) принципиальное отличие этого состояния от состояния тела той же конфигурации, но загруженного после формирования.

Эти же выводы (возможно, независимо от Рашбы) были высказаны в работах [92, 93] спустя десять лет после опубликования статьи [78]. В данных работах тем же методом строились решения той же самой задачи, что и в [78], а также задачи о непрерывном росте упругого шарового слоя в его собственном гравитационном поле за счет притока извне нового ненапряженного материала.

Осознание двух отмеченных выше фундаментальных фактов, кажу щихся вполне очевидными сейчас, но встречавших порой непонимание в ВВЕДЕНИЕ то время3, можно считать первым шагом на пути к построению общей теории деформирования наращиваемых тел.

В. Построение такой теории было начато, однако, значительно позже в работах [87] и [6], посвященных вопросам постановки квазистатической задачи наращивания для произвольного тела при малых деформациях.

Была еще раз подчеркнута невозможность использования в такой поста новке самих, стандартных для механики деформируемого твердого тела, условий Сен-Венана совместности компонент тензора деформации и фор мул Коши, выражающих эти величины через перемещения, и при этом было указано на целесообразность перехода к их аналогам для скоростей деформации и скоростей перемещений, справедливых, в том числе, и для растущего тела.

В [87], а потом в [88] также велась речь о возможности сведения рас сматриваемой проблемы в случае вязкоупругого материала (более слож ном и содержательном с точки зрения изучаемых вопросов по сравнению с чисто упругим случаем) к решению некоторой классической краевой задачи теории упругости, поставленной для скоростей движения частиц, скоростей деформации и скоростей изменения величин, полученных в результате действия на напряжения оператором вязкоупругости, в пара метрически изменяющейся со временем области, то есть об обобщении известного подхода Вольтерра на случай растущего тела.

Данная идея была математически обоснована и доведена до логиче ской завершенности лишь в гораздо более поздних исследованиях [19, 49]. Она оказалась весьма продуктивной при решении задач о наращива нии вязкоупругого тела в достаточно общей постановке (см. пп. З, И ).

Г. Примечательно, что долгое время оставалось незамеченным одно весьма важное, хотя и вполне очевидное обстоятельство. А именно, что

в) корректное краевое условие, которое следует выставлять на по верхности непрерывного роста, должно принципиальным образом отличаться от обычных условий, выставляемых на остальных участках границы наращиваемого тела.

На это обстоятельство, по-видимому, впервые было обращено внимание в [83]. В работах [9, 84] были сформулированы произвольные начальные Так, например, в реферативном журнале Механика № 9 за 1954 г. был опубликован реферат статьи [78] буквально следующего содержания (реф. 4972, с.

59):

На одном частном примере автор стремится показать влияние порядка возведения сооружения на напряженное состояние последнего. При этом используются ошибочные рассуждения.

0.2. Обзор литературы 11 условия для тензоров напряжений и деформации во всех точках дополни тельной части тела на основании представления о том, что для замкнуто сти рассматриваемой математической задачи наращивания должно быть заранее известно полное напряженно-деформированное состояние всех дополнительных материальных элементов, в котором эти элементы при соединяются к растущему телу. При этом было замечено, что такого ро да начальные условия эквивалентны заданию граничных значений всех компонент названных тензоров на текущей поверхности непрерывного роста, и показано, что из них вытекают определенные условия на ско рости изменения компонент тензора напряжений, аналогичные по виду классическим граничным условиям в напряжениях и зависящие как от начальных напряжений в материале и закона движения поверхности ро ста, так и от действующих на тело объемных сил. В [9, 85] было указа но также на необходимость наличия информации в общем случае о всей истории изменения напряженно-деформированного состояния присоеди няемых к телу элементов вплоть до момента их присоединения.

Заметим, что однородные начальные условия для тензоров напряже ний и деформации в непрерывно присоединяемом материале в явном виде содержались уже в работе [87], где считалось, что история измене ния напряженно-деформированного состояния всех материальных эле ментов начинается лишь с момента их включения в состав растущего тела, причем в этот момент каждый элемент находится в своем есте ственном состоянии. Такие же условия негласно принимались и в более ранних работах [78, 92, 93].

Д. Интересно отметить, что с самого начала в работах по механи ке непрерывного наращивания фигурировала такая привычная в меха нике твердого тела величина как тензор деформации.

Однако нетруд но понять, что традиционное введение меры деформации в растущем теле невозможно ввиду отсутствия у него единой недеформированной конфигурации (см. § 0.5). Поэтому использование понятия деформации и какой-либо ее величины в рассматриваемых задачах нуждается в до полнительных пояснениях. Конструктивный способ определения тензора малой деформации в непрерывно наращиваемом твердом теле был пред ложен лишь в работе [60]. Данный способ базируется на достаточно есте ственных представлениях, основная идея которых была озвучена еще в [37] при рассмотрении одного частного примера.

Е. Сначала одни только идеи Рашбы [78], а затем и другие общие теоретические предпосылки, выдвинутые в последующих цитированных ВВЕДЕНИЕ работах, вызвали большой интерес исследователей к зарождающейся но вой отрасли механики деформируемого твердого тела механике нара щиваемых тел и инициировали множество работ в этом направлении.

Развиваемые подходы стали активно применяться, в том числе, и при решении конкретных прикладных вопросов, в частности, в инженерных расчетах постепенно возводимых массивных гидротехнических сооруже ний (см., к примеру, монографии [38, 89]).

В итоге был рассмотрен ряд задач о наращивании твердых тел и вы явлены некоторые характерные для таких задач механические эффекты.

Не приводя здесь подробной библиографии, касающейся данных исследо ваний, укажем только, что соответствующие ссылки, а также описания многих из рассмотренных задач можно найти, например, в книгах [8, 18, 25, 28, 38, 86, 89] и в обзоре [22].

Ж. Параллельно с этими исследованиями стали развиваться и направ ления, связанные с изучением больших деформаций в растущих телах [10, 11, 13, 14, 18, 58, 59, 86] и протекающих в таких телах динамических процессов [20, 21, 23, 24, 26, 27], а также с применением вариационных методов к постановке и решению задач наращивания [12, 16, 18, 36, 61, 64, 95]. Были предложены некоторые общие подходы и рассмотрены от дельные модельные задачи.

З. Отметим, что решение геометрически линейных квазистатических задач о непрерывном наращивании упругих тел (даже в физически нели нейной постановке) теоретически не вызывает принципиальных трудно стей, поскольку скорость изменения напряженно-деформированного со стояния любого такого тела определяется только мгновенными харак теристиками процессов его роста и нагружения. Иначе обстоит дело в той ситуации, когда рассматриваемый материал проявляет свойства деформационной наследственности и на процесс изменения напряженно-деформированного состояния растущего тела в любой момент време ни влияет вся предшествующая история деформирования каждого его материального элемента (в том числе и находящихся в составе исходно го тела). Здесь построение решения задачи в общем случае является уже серьезной математической проблемой.

Общий и эффективный подход к разрешению этой проблемы отсут ствовал вплоть до появления работ [19, 49]. Во всех предшествующих исследованиях по теории вязкоупругости наращиваемых тел изучались лишь относительно простые частные задачи, получение решений кото рых возможно с помощью тех или иных частных приемов. Важно под

0.2. Обзор литературы 13 черкнуть, что исследовать таким образом кусочно-непрерывные процес сы роста было бы крайне затруднительно. Поэтому они не рассматри вались вовсе, что, естественно, не позволяло перейти к моделированию многих реальных природных и технологических процессов.

Общая безынерционная задача о кусочно-непрерывном наращивании линейно вязкоупругого однородно стареющего тела при малых деформа циях, в которой учитывается возможность загружения исходного тела за некоторое время до начала его наращивания и возможно наличие про извольных пауз между этапами непрерывного роста, была впервые рас смотрена в работе [19]. Предполагалось отсутствие массовых сил в теле, а также нагрузки на его текущей поверхности роста и на том участке границы временно не растущего тела, к которой в дальнейшем предпо лагается приток материала.

Манжировым А.В. был разработан эффективный математический ме тод построения решения поставленной смешанной (с точки зрения клас сических краевых условий) неклассической задачи механики деформиру емого твердого тела, который был изложен в [19] (описание этого метода можно найти также в монографиях [25, 28]). Важно отметить, что в соот ветствии с данным методом решение поставленной задачи ищется сразу во всей переменной во времени области, занимаемой растущим телом.

Иными словами, не требуется дополнительная процедура сопряжения решений, построенных отдельно в различных частях рассматриваемого тела, осуществлявшаяся, например, в [57]. Такая процедура, очевидно, может гарантированно привести к успеху лишь в ряде геометрически простейших случаев. В других же ситуациях, например, как в задаче о растущей четвертьплоскости, рассмотренной в [17], она должна натолк нуться на принципиальные математические трудности. В этом смысле обсуждаемый метод является достаточно гибким и позволяет с единых позиций изучать самые разнообразные проблемы из соответствующего класса, в том числе и в существенно неодномерной постановке.

В докторской диссертации профессора А.В. Манжирова и его работе [49] данный метод был распространен на общий случай, когда рассмат риваемое тело может подвергаться воздействию произвольного поля мас совых сил, а все его будущие и фактические поверхности роста могут загружаться произвольной нагрузкой (см. также § 0.5).

–  –  –

номерных задач наращивания, в том числе задач кручения, плоских, осе симметричных и контактных задач [19, 25, 28, 47, 48, 50, 51, 52, 53, 66].

В то же время, не был исследован несомненно важный для приложе ний класс задач, в которых учитывается влияние массовых сил. Решение задач из этого класса и является основной целью настоящей диссертации.

На основании анализа их решений требуется более полно и точно описать механические процессы, протекающие в твердых деформируемых телах при их наращивании в условиях действия различных полей массовых сил, всесторонне исследовать эти процессы, выявить и проанализировать различные общие и частные особенности, которые органически присущи им, но не могут быть обнаружены в рамках традиционных подходов, сформулировать качественные выводы и рекомендации практического характера.

0.3 Описание работы

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Последний включает 98 наименований. Основные результаты диссертации отражены в публикациях [39, 54, 55, 67–71, 94].

Общее количество иллюстраций в работе 47.

В главе 1 исследуется влияние сил взаимного или центрального при тяжения частиц материала на напряженно-деформированное состо яние формируемых под их воздействием однородных твердых тел на примере задачи о наращивании шара в произвольном центрально-симметричном силовом поле. Деформирование растущего шара происходит только за счет действующих на него массовых сил, а присоединяемый материал считается изначально свободным от напряжений. Процесс ро ста начинается с возникновения притока дополнительного материала к некоторому уже существующему шаровому телу (ядру), находящемуся в рассматриваемом силовом поле, или, в частном случае, к точечному центру. Когда шар наращивается в условиях собственной гравитации, интенсивность массовых сил, как известно, пропорциональна удалению от центра и не зависит от радиуса шара [45]. Этот вариант рассматрива ется как конкретный пример для числовой иллюстрации полученных в главе результатов.

Напомним (см. § 0.2), что задача об аккреции гравитирующего упру гого шарового слоя при малых деформациях решалась в работе [92]. Гео метрически нелинейная задача о непрерывном росте несжимаемого вяз

0.3. Описание работы 15 коупругого полого шара в собственном гравитационном поле рассматри валась в [11] (она приведена также в монографии [18]).

В первой главе проводятся также исследования общего характера, ка сающиеся поведения напряжений в окрестностях базовых поверхностей роста внутри кусочно-непрерывно наращиваемого тела.

Глава 2 посвящена изучению воздействия центробежных сил на со стояние твердых тел, изготавливаемых в процессе вращения. Решается задача о постепенном формировании слоя материала произвольной тол щины на внутренней или внешней поверхности круговой цилиндрической оправки, вращающейся вокруг своей оси с достаточно медленно изменя ющейся скоростью. Оправка считается существенно более жесткой по сравнению с формируемым на ней слоем, и поэтому ее собственная де формация в расчет не берется. С точки зрения постановки задачи это означает отсутствие исходного тела (см. § 0.1). Учет деформации оправ ки не представляет каких-либо принципиальных трудностей. Отказ от него делается умышленно с целью иллюстрации в работе также и тех процессов, в которых на деформирование возникшей в результате на ращивания части механической системы не влияет деформирование ее исходно существующей части.

После завершения процесса изготовления и остановки вращения до пускается отсоединение полученного в итоге слоя от оправки. На осно вании предлагаемых в этой главе общих подходов находятся остаточные напряжения в готовом изделии.

В данной задаче присоединение элементарных слоев материала может осуществляться с произвольным предварительным натягом, что позволя ет управлять напряженно-деформированным состоянием получаемого в итоге тела. Возможна постановка соответствующих задач оптимизации процесса изготовления4. Хотя такие задачи и не ставятся в настоящей работе, для этого подготовлены в ней все необходимые предпосылки.

В других постановках задачи о непрерывном наращивании вращаю щихся тел с учетом действующих на них при этом центробежных сил упругопластического сплошного тонкого диска в случае малых дефор маций при произвольном предварительном равномерном растяжении в окружном направлении приращиваемых элементарных слоев материала и сплошного несжимаемого вязкоупругого цилиндра без натяга при ко Один из вариантов задачи об оптимальном усилении вязкоупругого цилиндрического сосуда высокого давления путем послойной силовой намотки на его наружную поверхность упругого ма териала рассматривался в [7] (см. также [8]) в рамках приближенного подхода, основанного на предположении о малости суммарной толщины обмотки, и без учета центробежных сил.

ВВЕДЕНИЕ нечных деформациях рассматривались в [15, 18]. В монографии [86] рассмотрена линейная осесимметричная задача о непрерывном наращи вании термоупругого ортотропного полого цилиндра в произвольных нестационарных силовом и температурном полях при любом начальном напряженном состоянии материала, присоединяемого к его внутренней или внешней поверхности, с условием упругой реакции на ненаращивае мой границе. Построено решение этой задачи для воздействий, вызыва ющих только радиальные смещения частиц. В качестве одного из кон кретных примеров рассмотрен процесс нанесения ненапряженного мате риала, уравнения состояния которого предполагают несвязанные дефор мации вдоль главных направлений (отсутствие эффекта Пуассона), на внутреннюю поверхность вращающейся с постоянной угловой скоростью жесткой оправки.

Различные математически одномерные (плоские осесимметричные) механические модели процессов силовой намотки цилиндрических тел на жесткой или податливой круговой оправке, не учитывающие инер ционные силовые воздействия и относящиеся, большей частью, к анизо тропным материалам, предлагались, например, в [7, 30, 31, 44, 62, 65, 72, 79, 82, 86, 88, 90]. Все они относятся к классу так называемых кольце вых моделей, в которых реальные витки слоев материала заменяются замкнутыми растянутыми кольцами. С таких же позиций проводится мо делирование силовой намотки и в настоящей работе в качестве одного из числовых примеров к решенной во второй главе абстрактной задаче.

Еще одним примером в работе служит моделирование процесса внутрен него напыления, геометрически сходного с рассмотренным в [86].

В главе 3 анализируется влияние сил тяжести на состояние посте пенно формируемых в их присутствии объектов. Решается инженерная задача о последовательном сооружении на гладком жестком основании тяжелой полукруглой арочной конструкции методом послойного утол щения по внутренней поверхности некоторой первоначально установлен ной на это основание заготовки, выполненной заранее без остаточных напряжений. При моделировании учитываются такие возможные техно логические особенности процесса как использование в нем первоначаль но напряженных конструктивных элементов и закрепление конструкции на время ее возведения на подвесе с контролируемой силой натяжения.

Программа создания преднапряжений в присоединяемых слоях материа ла считается произвольной. В частности, можно рассмотреть различные способы изготовления этих слоев из дополнительных конструктивных

0.3. Описание работы 17 элементов, находя при этом распределения возникающих в них напря жений из решений соответствующих задач механики. Однако подобные вопросы не затрагиваются в настоящей работе, и при конкретных чис ловых расчетах принимается равномерное растяжение дополнительных элементарных слоев напряжением, зависящим от их радиуса.

Отметим, что в работе [48] была решена задача о непрерывном утолще нии изначально ненапряженными слоями заглубленной в сыпучий грунт невесомой арки, аналогичной по геометрии и свойствам рассматриваемой в данной главе.

Описанные задачи решаются в квазистатическом приближении при малых деформациях для случая однородного изотропного линейного ма териала. Рассматривается два варианта определяющих соотношений, со ответствующие вязкоупругому стареющему и чисто упругому (не подвер женному старению) материалу. Последний вариант является частным случаем первого, однако ввиду его особой значимости он всякий раз анализируется отдельно. Как показано в данной работе, именно в этом частном случае все неклассические особенности поведения наращивае мых тел проявляются наиболее ярко.

Представленные в диссертации исследования опираются, в первую очередь, на фундаментальные идеи механики растущих тел и матема тическую теорию наращиваемых тел, развитые в работах академика АН Армении Н.Х. Арутюняна и профессора А.В. Манжирова и их учеников.

При этом используются результаты и методы математического анализа, теории обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений, уравнений математической физики, теории обобщенных функций.

Все изучаемые в работе проблемы сводятся к неклассическим зада чам механики деформируемого твердого тела. Их решения строятся для произвольного числа этапов непрерывного роста с произвольными по длительности паузами между ними с помощью метода, разработанного в [49] и приводящего в итоге к решению последовательности краевых задач математической теории упругости, содержащих время как вещественный параметр и поставленных для определенных величин на различных эта пах процесса в области, занимаемой в текущий момент растущим телом, с последующим восстановлением эволюции поля напряжений по специ альным формулам (см. § 0.5). Последняя процедура эквивалентна реше нию для каждой точки тела интегральных уравнений типа Вольтерра, правые части которых получаются интегрированием по параметру вели чин, найденных в результате решения указанных краевых задач.

ВВЕДЕНИЕ В контексте рассматриваемой в настоящей диссертации проблемы де формирования наращиваемых тел под действием массовых сил следует отметить одно важное с математической точки зрения обстоятельство.

А именно, при наличии у материала свойства ползучести в роли интен сивности объемной нагрузки в упомянутых выше краевых задачах даже при самой простой структуре истинного силового поля будут выступать, вообще говоря, разрывные в рассматриваемой пространственной области функции, изменяющиеся в ней сложным образом и зависящие от реоло гических свойств материала и всей истории формирования тела.

Исследование поведения и финального состояния изучаемых объектов проводится на основании построенных в каждой главе аналитических решений соответствующих задач (сводящихся во всех задачах к квадра турам, а в задаче об арке содержащих также бесконечные ряды) и конкретных числовых расчетов, проведенных для различных вариантов и параметров моделируемых процессов, а также с помощью некоторых общих аналитических подходов, предлагаемых в настоящей работе.

В расчетах для аппроксимации зависимостей от временных парамет ров определяющих характеристик вязкоупругого стареющего материала выбираются выражения, широко используемые в литературе. Задание конкретных числовых значений входящих в них постоянных учитывает известные экспериментальные данные. Тем не менее, в приложении А выводятся общие ограничения, которые нужно наложить на эти посто янные, чтобы указанные характеристики удовлетворяли основным ма тематическим требованиям, предъявляемым к рассматриваемой модели материала для обеспечения ее адекватности реальным процессам.

Достоверность полученных результатов в рамках рассматриваемых механических моделей обеспечивается применением строгого математи ческого аппарата при построении решений поставленных задач и их ана лизе. Она основывается также на практических оценках погрешностей выполняемых приближенных вычислений, контроле точности нахожде ния напряженного состояния тела посредством проверки выполнения интегральных условий равновесия его различных конечных частей, те стировании вычислительных программ на задачах с построенным в ко нечной форме решением, сопоставлении получаемых в частных случаях результатов с заранее прогнозируемыми или известными.

В приложении Б кратко описаны вычислительные методы, приме няемые для построения числовых решений исследуемых задач. Указаны и обоснованы основные приемы, которые используются в работе для про верки правильности и контроля точности получаемых результатов.

0.3. Описание работы 19 Полученные в диссертации результаты в определенной степени под тверждают и адекватность самих механических представлений, положен ных в основу проведенных в ней исследований.

Все рассмотренные в диссертации задачи в приведенных постановках решены и детально исследованы впервые. В результате обнаружено и проанализировано множество новых механических эффектов, установле ны факты, необычные с точки зрения механики тел постоянного состава.

Также впервые изучены некоторые общие характерные особенности де формирования наращиваемых тел.

Результаты диссертационной работы представляют теоретический и практический интерес как для механики, так и для некоторых других областей естествознания, и могут быть использованы в инженерной прак тике при моделировании целого ряда технологических процессов.

Все исследования выполнены в рамках плановой тематики Институ та проблем механики Российской академии наук Моделирование про цессов формирования, взаимодействия, деформирования и разрушения упруговязкопластических тел под действием нагрузок и физических по лей (Гос. рег. № 0120.0503826) и проектов, финансируемых грантом Пре зидента Российской Федерации по государственной поддержке ведущих научных школ № НШ-1245.2006.1 и Российским фондом фундаменталь ных исследований (проекты № 05-01-00693 и № 06-01-00521).

В следующих двух вводных параграфах дается описание определяю щих соотношений вязкоупругого стареющего материала, принимаемых далее во всех рассматриваемых задачах, а также кратко излагаются ос новные положения механики растущих тел при малых деформациях и применяемый в работе общий метод решения соответствующих задач.

Это делается с целью избавления читателя от необходимости обращаться к соответствующей оригинальной литературе по мере чтения основных глав диссертации и для придания работе определенной степени логиче ской замкнутости.

ВВЕДЕНИЕ

–  –  –

называют функциями удельной деформации материала при всесторон нем сжатии и чистом сдвиге: они описывают изменение во времени t от носительного уменьшения объема и увеличения угла сдвига образца при Отметим, что задание ядер в таком виде соответствует теории ползучести, часто называемой в литературе наследственной теорией старения Маслова–Арутюняна.

0.4. Определяющие соотношения 21

–  –  –

где Rv (t, ) и Rs (t, ) резольвенты соответствующих ядер ползучести, называемые также ядрами релаксации. Соотношения (0.4) есть эквива лентная форма записи принятых уравнений состояния (0.1).

Отметим, что приведенные выше соотношения очень хорошо описыва ют, в частности, механическое поведение бетона при не слишком высоких напряжениях и скоростях их изменения [4, 28].

–  –  –

Далее опишем один из важнейших частых случаев определяющих со отношений (0.1), в рамках которого и будут рассматриваться все вопро сы, затрагиваемые в настоящей диссертации.

3. Случай единого ядра ползучести. Ползучесть некоторых рас пространенных конструкционных материалов, в том числе бетона, хоро шо описывается уравнениями состояния (0.1) при условии постоянства и равенства между собой коэффициентов Пуассона для мгновенной упру гой деформации и деформации ползучести [1, 4, 41, 97], то есть при

–  –  –

где G 0 значение модуля упругости достаточно старого материала.

Изучение опытных кривых ползучести стареющих материалов в обла сти линейной ползучести (см., например, [1, 5, 32, 42, 76, 96]) показывает, что в условиях естественного старения их мера ползучести как функция времени t и момента приложения нагрузки при t 0 ограничена и непрерывна по t и удовлетворяет свойствам 1) (, ) 0, (t, ) 0,

2) lim (t, ) = A( ), t+

–  –  –

ствами меры ползучести величину A( ) можно назвать также удельным ресурсом ползучести 6 материала в возрасте.

Укажем теперь те варианты аппроксимирующих выражений для мо дуля упругости и меры ползучести, которые будут использоваться в на стоящей работе при численном анализе всех исследуемых процессов.

Зависимость от времени модуля упругости будем описывать экспонен циальной функцией вида [1, 4, 8, 18, 28, 74, 91, 98] G(t) = G 1 G et, (0.14) где 0 коэффициент, задающий темп изменения упругих свойств материала вследствие его старения, а G = (G G0 ) G есть полное относительное увеличение модуля упругости материала за счет старения, G0 = G(0) значение этого модуля в момент зарождения материала.

Меру ползучести представим в виде произведения (t, ) = A( ) 1 e(t ), (0.15) где 0 коэффициент, определяющий скорость ползучести. Данное представление предложено Н.Х. Арутюняном в работах [3, 4] и отражает факт независимости процесса старения материала от его деформирова ния. Одним из преимуществ меры ползучести в форме (0.15) является существование замкнутого аналитического выражения для резольвенты Rs (t, ) ядра ползучести, порождаемого этой мерой [5].

Функцию старения аппроксимируем также экспоненциальной зависи мостью, полагая [8, 18, 28, 74, 75] A( ) = A + A e, (0.16) где 0 коэффициент, задающий темп изменения с возрастом на следственных свойств материала, а A = A0 A представляет собой полное уменьшение удельного ресурса ползучести материала вследствие старения, где A0 = A(0) удельный ресурс ползучести в момент зарож дения материала7.

Ясно, что параметры выбранных аппроксимаций (0.14)–(0.16) не мо гут быть произвольными. Чтобы удовлетворялись все вышеперечислен ные свойства вязкоупругих характеристик рассматриваемого материала, на данные параметры необходимо наложить некоторые дополнительные ограничения. Эти ограничения получены в приложении А.

Такое название однако не является традиционным.

Отметим, что приведенная здесь трактовка механического смысла параметров аппроксимиру ющих выражений (0.14)–(0.16) является оригинальной.

ВВЕДЕНИЕ

0.5 Задача о деформировании наращиваемого тела

1. Особенности деформирования наращиваемых тел. Итак, в соответствии с данным в § 0.1 определением, элементы дополнительного материала присоединяются к растущему телу уже по ходу его деформа ционного движения в пространстве. Ясно, что у формируемого подобным образом тела в целом не может в общем случае существовать исходной недеформированной конфигурации. Нетрудно также понять, что именно это характерное обстоятельство является определяющим в процессе де формирования любого наращиваемого тела и должно принципиальным образом отличать механическое поведение таких тел от поведения тел по стоянного состава (классических в континуальной механике), равно как и тел с переменной вследствие снятия материала границей.

Первым, тривиальным, следствием из отмеченной основной особенно сти деформирования наращиваемого тела является невозможность опре деления какой-либо меры его деформации обычным для механики сплош ной среды способом8. Вторым, уже более содержательным, будет заклю чение о необходимости знания, вообще говоря, всей истории изменения состояния новых материальных элементов вплоть до момента их включе ния в состав растущего твердого тела. В частном случае может оказаться достаточно информации лишь об их напряженно-деформированном со стоянии непосредственно в момент присоединения к телу, например, если это состояние возникает только в данный момент времени или использу емый материал является упругим.

Наряду со всем сказанным выше можно обратить внимание и на тот факт, что частицы дополнительного материала после его сцепления с по верхностью роста продолжают далее свое движение уже в составе сплош ного, пусть даже все еще растущего, тела. Это значит, что в области про странства, занимаемой в данный момент времени всем наращиваемым телом, однозначно определено достаточно гладкое поле скоростей движе ния его частиц. Поэтому следует ожидать, что задача о деформировании такого тела может быть корректно поставлена в скоростной форме.

2. Основные соотношения квазистатики кусочно-непрерывно наращиваемых тел при малых деформациях. Все последую В случае малых деформаций это, очевидно, означает несправедливость формул Коши для ком понент тензора полной деформации, а следовательно, и условий Сен-Венана их совместности. На факт несовместности деформаций в непрерывно наращиваемом теле впервые было обращено вни мание в работе [78], а затем, возможно, независимо в [92, 93]. В данных работах рассматривался непрерывный процесс роста линейно упругого тела в полях сил тяжести и собственной гравитации, и речь велась об уравнениях совместности в форме Бельтрами-Мичелла.

0.5. Задача о деформировании наращиваемого тела 27 щие рассмотрения будут проводиться для случая малых деформаций.

Принимая это допущение, можно при определении напряженно-деформированного состояния наращиваемого тела пренебречь деформацион ными изменениями его конфигурации по сравнению с ее изменениями за счет пополнения тела новым материалом. Кроме того, будем считать, что область (t), занимаемая в пространстве растущим телом в момент времени t, определяется задаваемой программой наращивания, то есть является априори известной9.

Если в конкретном изучаемом процессе существует и деформирует ся некоторое исходное тело, занимающее в пространстве область 0, к поверхности которого затем в момент времени t = t 1 начинается присо единение дополнительного материала, то эволюция напряженно-деформированного состояния этого тела вплоть до момента t 1, называемого моментом начала наращивания (или роста), должна определяться из решения классической задачи механики для деформируемого твердого тела с фиксированной границей. Как отмечено в § 0.1, процесс непрерыв ного наращивания может начаться и без участия исходного тела. В этом случае в момент t1 должен возникнуть приток материала, например, к некоторому точечному центру или какой-либо жесткой поверхности.

Дополнительное тело, образованное всем поступавшим в процессе роста дополнительным материалом, будем обозначать через A.

Далее ограничимся рассмотрением только квазистатических процес сов деформирования. Тогда в области, занимаемой в каждый момент времени наращиваемым телом, после начала его наращивания должно выполняться классическое уравнение равновесия в виде · T + f = 0, r (t), t t1, (0.17) где T(r, t) тензор напряжений, f (r, t) вектор интенсивности действу ющих объемных сил, r радиус-вектор произвольной точки тела.

В соответствии со сказанным в п. 1 мы не можем выразить тензор де формации во всем наращиваемом теле через перемещения обычным для механики сплошной среды образом. Однако для намеченной скоростной постановки задачи наращивания подобного представления, очевидно, не требуется. В ней (как в краевых задачах механики жидкости) в роли ха рактеристики процесса деформирования должен выступать тензор ско рости деформации D(r, t), определяемый по векторному полю скоростей Мы не будем рассматривать здесь таких процессов (как, к примеру, фронтальное затвердевание некоторой среды), в которых движение и форма поверхности роста, а возможно, еще и состояние нового материала на ней заранее не известны и должны определяться совместно с решением меха нической задачи.

ВВЕДЕНИЕ v(r, t) известным соотношением

–  –  –

аналогичным классическому представлению Коши тензора малой дефор мации10. Но тогда и уравнения состояния материала должны быть сфор мулированы для этого тензора. Если исходить из определяющего соотно шения (0.8) для изотропного линейно вязкоупругого однородно старею щего материала, то в качестве уравнения состояния в задаче наращива ния следует принять зависимость [49]

–  –  –

Заметим, что принятое уравнение состояния (0.18) предполагает изго товление всех элементов материала, из которого далее будет формиро ваться рассматриваемое тело (и исходная, и дополнительная его части), в один и тот же момент времени t = 0 (см. § 0.4).

Будем для простоты считать, что дополнительный материал загружа ется непосредственно в момент его сцепления с наращиваемым телом.

Тогда функция 0 (r), участвующая в определении (0.20) и задающая рас пределение моментов возникновения напряжений в точках тела, может быть представлена следующим образом:

–  –  –

где t0 t1 момент загружения исходного тела, (r) момент вклю чения частицы с радиус-вектором r в состав растущего тела, определя емый заданной для последнего программой наращивания; понятно, что для всех точек дополнительного тела (r) t1.

Рассмотрим теперь процесс непрерывного роста тела, начинающийся в момент времени t1 и заканчивающийся в момент t = t2 t1. Обозна чим через S(t) текущую поверхность роста, движение которой в нашем случае полностью определяется заданной программой наращивания.

Коль скоро мы считаем, что загружение нового материала происходит только в момент его присоединения к растущему телу, то в соответствии с рассуждениями, проведенными в п. 1, для корректной постановки задачи наращивания при принятом определяющем соотношении материала (0.8) достаточно знать, например, лишь полное напряженное состояние присо единяемого материала в этот момент времени. Данное состояние вызыва ется мгновенным упругим деформированием дополнительных элементов непосредственно перед их включением в состав рассматриваемого тела, причем, как мы считаем, под воздействием факторов, не связанных с про исходящими в этом теле процессами. Поэтому в рамках изучаемой зада чи наращивания оно должно предполагаться известным.

Таким образом, во всех точках мгновенной поверхности роста на протяжении всего про цесса непрерывного наращивания следует задавать некоторый полный тензор напряжений T :

–  –  –

Легко заметить, что поверхность S(t) описывается уравнением (r) = t.

Поэтому граничное условие (0.22) эквивалентно следующему начально му условию в области, занимаемой дополнительным телом 11:

–  –  –

На части границы (t) растущего тела, не входящей в поверхность роста S (t) (если, конечно, S (t) не покрывает всю граничную поверх ность тела), должны быть заданы какие-либо классические для механи ки деформируемого твердого тела граничные условия. Будем считать, что данная часть границы (t) \ S (t) в общем случае состоит из че тырех непересекающихся участков S1(t),..., S4 (t), на которых имеют Граничное условие на поверхности непрерывного роста в виде (0.22) и эквивалентное ему на чальное условие (0.23) были впервые сформулированы в работах [9, 84].

ВВЕДЕНИЕ место следующие условия [19]:

u = u0, r S1 (t); n · T = t0, r S2 (t);

u · nn = u1, n · T · (1 nn) = t1, r S3(t); (0.24) n · T · nn = t2, u · (1 nn) = u2, r S4(t);

здесь n(r) единичный вектор внешней нормали к граничной поверхно сти тела, а ui(r, t) и ti (r, t) заданные векторные поля на соответствую щих участках данной поверхности. Зависимость этих участков от време ни обусловлена лишь возможностью их расширения за счет увеличения поверхности тела в результате притока дополнительного материала. На участке S1 (t) считаются заданными перемещения u(r, t), отсчитываемые для пограничных частиц исходного тела от соответствующих точек его недеформированной конфигурации, а для присоединившихся частиц например, от тех положений в пространстве, в которых эти частицы вошли в состав растущего тела. На участке S2 (t) задается поверхност ная нагрузка, а на участках S3 (t) и S4 (t) соответственно перемещения вдоль нормали вместе с касательными напряжениями и нормальные на пряжения вместе с перемещениями в касательной плоскости.

После (временной или окончательной) остановки процесса непрерыв ного наращивания, то есть при t t2, граничные условия (0.24), есте ственно, сохраняют свою силу.

Но и на всей последней поверхности ро ста S(t2 0) теперь должно быть также выставлено одно или несколько (на различных ее участках) из классических условий (0.24) вместо прежнего, нетрадиционного в механике, условия (0.22). Формально это означает, что начиная с момента t2 и до начала следующего этапа непре рывного роста (если таковой состоится) поверхность S (t2 0) следует считать частью объединения поверхностей 4 Sj. Причем на данном j=1 интервале времени поверхности Sj уже, понятно, не зависят от t.

В некоторый момент времени t3 t2 наращивание тела может возоб новиться и продолжаться до момента t = t4 t3. При этом на текущей поверхности роста S (t) для t [t3, t4) снова должно иметь место неклас сическое условие, аналогичное (0.22).

В общем случае процесс кусочно-непрерывного наращивания будет со стоять из N 1 этапов непрерывного роста, протекающих на интервалах времени t (t2k1, t2k ) (k = 1,..., N ). Заметим, что иногда бывает удоб но разбить на отдельные этапы и процесс непрерывного наращивания, считая продолжительности пауз между этапами равными нулю.

Описанная в данном пункте общая безынерционная задача о кусочно-непрерывном наращивании линейно вязкоупругого однородно старе

0.5. Задача о деформировании наращиваемого тела 31 ющего тела при малых деформациях, в которой наряду с возможностью загружения исходного тела за некоторое время до начала наращивания предполагается также наличие произвольных пауз между этапами непре рывного роста, в данной постановке впервые рассмотрена в работе [49].

Разработанный в этой работе метод решения такой задачи положен в ос нову всех исследований, проводимых в настоящей диссертации. Поэтому его суть излагается в следующем пункте текущего вводного параграфа.

3. Преобразование общей квазистатической задачи для кусочно-непрерывно наращиваемого линейно вязкоупругого одно родно стареющего тела. Итак, процесс деформирования рассматрива емого твердого тела на временном интервале, соответствующем первому этапу его непрерывного роста, описывается следующей совокупностью соотношений (см. п. 2):

· T + f = 0, r (t), t (t1, t2);

S = 2D + ( 1) 1 tr D, S = T / t, D = ( vT + v) 2;

r S (t) t = (r);

T = T, u = u0, r S1(t); n · T = t0, r S2 (t);

u · nn = u1, n · T · (1 nn) = t1, r S3 (t);

n · T · nn = t2, u · (1 nn) = u2, r S4 (t).

К ней нужно добавить известную эволюцию напряженно-деформированного состояния исходного тела на отрезке времени вплоть до начала его наращивания, найденную из решения классической задачи механики, в частности, эволюцию тензора напряжений r 0, t [t0, t1].

T(r, t), (0.25) Здесь важно заметить, что, хотя в момент времени t 1 рассматриваемое тело еще и является по всем признакам классическим, на участке его по верхности S(t1 ) уже должна учитываться нагрузка, вызванная возник новением притока к нему дополнительного материала и согласованная с тензором напряжений T, найденным из условия (0.22) при t = t 1.

Следуя [49], преобразуем записанные соотношения к удобной для ре шения краевой задаче, содержащей явно только величины v, D и S.

Прежде всего, на основе классического уравнения равновесия (0.17) получим уравнение для введенного в п. 2 тензора S. Обозначим через 1 ту область, которую занимает в пространстве сформированное на пер вом этапе роста субтело. Будем считать, что функция (r) непрерывно ВВЕДЕНИЕ

–  –  –

где величина sn (r) = (r) есть нормальная скорость движения поверхности S (t) в пространстве за счет роста тела, а n(r), r 1, вешняя единичная нормаль к по верхности растущего тела в точке r в момент прохождения S (t) через эту точку. Тогда с учетом справедливого в 1 тождества 1 (r) (r), начального условия (0.23) для точек 1 и определения ядра ползучести K(t, ) (см. § 0.4) будем иметь

–  –  –

Вектор t (r) представляет собой интенсивность в точке r поверхностной нагрузки, действующей на растущее тело в момент прохождения поверх ности роста S (t) через данную точку. Эта нагрузка обусловлена наличи ем (заранее известных) предварительных напряжений в присоединяемом материале. Векторное поле t) описывает поверхностную нагрузку на t(r, будущей поверхности роста S (t1) исходного тела вплоть до момента на чала его наращивания и определяется по соответствующей эволюции тен зора напряжений (0.25), то есть также является известным.

Таким образом, действуя на дифференциальное уравнение (0.17) ли нейным оператором H0 (r) и привлекая соотношение (0.28), приходим к следующему дифференциальному уравнению для тензора T в (t):

–  –  –

Правая часть q(r, t) данного условия является известной функцией и определяется свойствами рассматриваемого вязкоупругого материала, законом изменения напряжений на будущей поверхности роста исходного тела в течение всего процесса его деформирования до начала наращива ния, программой наращивания, действующими вблизи поверхности ро ста объемными силами и начальными напряжениями в присоединяемом материале. Заметим еще, что в силу (0.2) справедливо тождество

–  –  –

тора перемещения стоит вектор скорости v, на месте тензора деформа ции тензор скорости деформации D, а на месте тензора напряжений, отнесенного к модулю сдвига, тензор S.

Проведенное выше преобразование уравнения равновесия остается, очевидно, справедливым и после окончания первого этапа непрерывно го роста. Поэтому деформирование тела на этом интервале времени в соответствии со сказанным в конце п. 2 должно описываться точно та кой же краевой задачей, как и на первом этапе, с тем лишь отличием, что область и поверхности Sj не будут уже зависеть от параметра t, а поверхность S с точки зрения выставления на ней граничных условий станет частью объединения 4 Sj. j=1 Для всех последующих этапов роста можно провести преобразования, аналогичные проделанным выше для первого этапа, например, в том слу чае, когда базовая поверхность роста на каждом очередном этапе сов падает с последней поверхностью роста на предыдущем этапе. Именно такой случай рассматривается во всех главах настоящей работы.

Если в каждой точке r рассматриваемого наращиваемого тела при t 1(r) найдена эволюция тензора S (из решения соответствующих краевых задач), то эволюция тензорного поля напряжений T(r, t) в теле согласно (0.19), (0.20) и (0.9) восстанавливается по формуле t T(r, t) = I + N0 (r) T r, 1(r) + S(r, ) d, t 1 (r).

G(t) 1 (r)

–  –  –

Наращивание шара в центральном силовом поле Исследуются процессы формирования твердых шаровых тел в произ вольном центрально-симметричном силовом поле за счет притока допол нительного вещества к их поверхности. Предложена механическая мо дель кусочно-непрерывного роста таких тел для случаев вязкоупругого стареющего и упругого материалов. Построены замкнутые решения соот ветствующих неклассических задач. Обнаружен и детально исследован целый ряд принципиально новых механических эффектов, возникающих только в рассматриваемых телах при их постепенном формировании.

Выполнены числовые расчеты для гравитирующих объектов, формиру ющихся в процессе аккреции. Изучено влияние скорости и характера роста на напряженно-деформированное состояние таких объектов. Про веден сравнительный анализ моделей, учитывающих и не учитывающих механические особенности процесса наращивания.

В этой главе доказана также общая теорема о скачке тензора напряже ний на границе раздела исходной и дополнительной частей произвольно го наращиваемого тела. Использованный при ее доказательстве подход применен в частном случае растущего шарового тела к анализу разры вов и изломов эпюр напряжений на общих участках границ его частей, сформированных на различных этапах непрерывного роста.

Основные результаты главы отражены в работах [54, 67, 69, 70, 94].

ГЛАВА 1. НАРАЩИВАНИЕ ШАРА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

Введение Предположим, что в рассматриваемом объеме пространства имеется некоторое распределенное вещество, подверженное действию стационар ного поля сил притяжения к фиксированному центру. Под воздействием этого поля частицы вещества устремляются к центру и формируют во круг него твердое шаровое тело, увеличивающееся со временем в разме ре. Естественно, что действие силового поля на частицы не прекращается и после их включения в состав твердого тела. В результате в этом теле возникают некоторые напряжения и деформация, которые развиваются с его ростом. Можно ожидать, что данное напряженно-деформированное состояние будет отличаться от того, которое возникло бы в аналогичном по свойствам шаре, сформированном целиком вне всяких силовых воз действий и только затем помещенном в рассматриваемое поле. Если при этом реакция рассматриваемого материала на приложенные к нему ме ханические нагрузки зависит явно от времени, то на итоговое состояние тела, постепенно сформированного в силовом поле, определяющее влия ние будут оказывать характер и скорость протекания процесса роста.

Сходная ситуация возникает и тогда, когда однородное шаровое тело растет под воздействием сил притяжения друг к другу отдельных ча стиц формирующего его вещества. Ввиду центральной симметрии этого процесса равнодействующая всех сил, действующих на каждую конкрет ную частицу шара со стороны всех остальных его частиц при любом законе их взаимного притяжения должна быть направлена к центру, а величина этой силы зависеть только от расстояния данной частицы до центра и, в общем случае, от текущего радиуса шара. При опреде ленном законе притяжения радиус шара не будет влиять на величину равнодействующей силы, и тогда суммарный эффект от взаимодействия всех составляющих растущий шар частиц эквивалентен действию на этот шар стационарного индуцированного силового поля.

Более общим вариантом описанных выше процессов является тот слу чай, когда приток частиц вещества возникает не к точечному центру, а к некоторому уже имеющемуся шаровому ядру, которое по тем или иным причинам не испытывало напряжений во время формирования.

1.1. Постановка задачи 39

1.1 Постановка задачи Рассмотрим однородный шар радиуса a0, находящийся под действием центрально-симметричного силового поля векторной интенсивности

–  –  –

где r радиус-вектор с началом в центре шара, f (r) некоторая непре рывная при r 0 функция. Пусть этот шар изготовлен из изотропного линейно вязкоупругого стареющего материала с нулевым моментом вре мени зарождения и помещен в силовое поле в момент времени t = t 0, а затем начиная с некоторого момента t1 t0 претерпевает N последо вательных этапов непрерывного роста вследствие равномерного притока точно такого же материала к его поверхности. Эти этапы чередуются с некоторыми интервалами времени, в течение которых приток матери ала отсутствует, а поверхность сформированного шара не загружается.

До начала и после окончательного прекращения роста рассматриваемый шар также не подвергается нагружению по граничной поверхности.

Пренебрегая инерционными эффектами и предполагая малость де формаций, исследуем эволюцию напряженно-деформированного состо яния шара на этапах его непрерывного наращивания, в паузах между ними, а также после окончательной остановки роста. Исследование про ведем для кажущегося в данной задаче оправданным случая присоеди нения материала в первоначально ненапряженном состоянии.

Чтобы не решать дополнительно вопрос о физической возможности организации притока вещества к поверхности шара в условиях отталки вающего силового поля, примем, что в законе (1.1) f (r) 0 при r 0.

Возьмем определяющее соотношение материала в виде (см. § 0.4)

–  –  –

где K(t, ) и R(t, ) ядра ползучести и релаксации, G( ) упругий модуль сдвига, (t, ) мера ползучести при чистом сдвиге, (t, ) функция удельной деформации сдвига. Названные функции определены при t 0, при этом (, ) 0. (1.6)

Функция удельной деформации может быть также представлена в виде:

(t, ) = (I L ) G(t)1. (1.7) В определяющем соотношении (1.2) через 0(r) обозначен момент возник новения напряжений в точке тела с радиус-вектором r. Величины T(r, t), E(r, t) суть тензоры напряжений и малой деформации в указанной точ ке тела в текущий момент времени; 1 единичный тензор 2-го ранга.

Константа материала выражается через постоянный, общий для упру гой деформации и деформации ползучести, коэффициент Пуассона по формуле = (1 2)1.

Ввиду малости деформаций можно считать, что в течение k-го эта па непрерывного наращивания радиус шара возрастает по известному закону a(k) (t), где t (t2k1, t2k ) (k = 1,..., N ). Обозначим продолжи тельность k-го этапа наращивания и длительность выдержанной перед ним паузы соответственно через

–  –  –

В силу равномерности притока присоединяемого материала к поверх ности роста и отсутствия в нем предварительных напряжений имеем для момента 0(r) начала загружения элементов шара зависимость

–  –  –

где (r) момент присоединения к шару слоя радиуса r. Заметим, что сферическая поверхность r = a(k) (t), являющаяся границей шара в мо мент времени t (t2k1, t2k ), то есть текущей поверхностью роста на k-м этапа наращивания, описывается также уравнением (r) = t. Это обстоятельство, очевидно, равносильно выполнению тождеств a(k) (t) t, t (t2k1, t2k ); (1.9)

1.2. Напряженно-деформированное состояние шара до начала наращивания 41

–  –  –

1.2 Напряженно-деформированное состояние шара до начала наращивания Вплоть до момента начала наращивания напряженно-деформированное состояние рассматриваемого шара описывается классической крае вой задачей линейной теории вязкоупругости

–  –  –

где u(r, t) = er u(r, t) вектор перемещения. В силу обозначения (1.11) и представления (1.7) эта задача эквивалентна следующей, зависящей от времени t только как от вещественного параметра, краевой задаче [49]:

–  –  –

Здесь r (r, t) и (r, t) радиальное и окружное напряжение, r (r, t) и (r, t) радиальная и окружная деформация.

ГЛАВА 1. НАРАЩИВАНИЕ ШАРА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

–  –  –

При выполнении условия (1) утверждения последний предел существует и равен нулю. А в случае выполнения условия (2), воспользовавшись еще раз правилом Бернулли-Лопиталя, будем иметь (r) 1 (r) lim r2 F (r) = 0.

lim = lim = r+0 r r+0 r 3 r+0 То есть в любом случае имеет место равенство (1.20).

Внося теперь в общее решение (1.17) на место произвольной посто янной B интеграл (1.21), приходим на основании (1.18) к заявленному представлению (1.16).

Замечание 1. Для неотрицательной функции F (r) условие (1) до казанного утверждения эквивалентно, как известно [40], существованию a интеграла 0 F (r)dr. # Замечание 2. Вычитая из первого равенства (1.17) представление (1.16), получим тождество (r) + B r2 r (r) + (r). Внося его в продифференцированное по r первое равенство (1.17) и используя также формулу (1.22), находим

w (r) = 2(r) (r) + C. # (1.23)

Вернемся теперь к решению задачи (1.13). Функция удельной дефор мации (t, ) положительна всюду в своей области определения в силу положительности меры ползучести и модуля упругости (см. § 0.4). По этому если непрерывная и положительная при r 0 функция f (r), за дающая интенсивность рассматриваемого силового поля, обладает хотя бы одним из свойств

–  –  –

то для правой части уравнения (1.14) при любом значении параметра t t0 будут выполнены все условия утверждения 1.1. В этом случае решение данного уравнения, удовлетворяющее (кинематическому) гра ничному условию задачи (1.13) при r 0, может быть записано в виде

–  –  –

где (r) тензорное поле, ставящее в соответствие каждой точке про странства с выходящим из центра шара радиус-вектором r и произволь ному ортонормированному базису вида {r/|r|, e 1, e2 } в этой точке посто янную диагональную матрицу diag{mr, m, m }.

1.3 Деформирование шара в процессе его непрерывного роста Рассмотрим k-й этап непрерывного наращивания шара. Частицы при текающего в течение него материала сцепляются с поверхностью роста и после присоединения продолжают свое движение уже в составе сплош ного растущего тела. Это означает, что поле скоростей движения частиц v(r, t) в области, занимаемой всем существующим на данный момент вре мени телом, является достаточно гладким и задачу о деформировании последнего в процессе (а также после) его формирования возможно кор ректно поставить в скоростной форме (см. § 0.5). Следуя этому подходу, запишем аналог уравнения состояния (1.2) рассматриваемого вязкоупру гого стареющего материала для тензора скорости деформации

–  –  –

При постановке решаемой задачи было принято, что до начала нара щивания и после завершения каждого этапа непрерывного притока мате риала поверхность шара не подвергается нагружению (см. § 1.1). Именно в этом специальном случае при условии еще, что данная поверхность не загружается также и во время самих этапов роста, как следует из § 0.5,

1.3. Деформирование шара в процессе его непрерывного роста 47 локальная формулировка уравнения равновесия во всем рассматривае мом шаровом теле, наращиваемом в центрально-симметричном силовом поле f (r), как на k-м этапе наращивания, так и после его прекращения будет допускать следующую простую запись:

–  –  –

Во всех других случаях придется иметь дело с уравнением более слож ного вида (см. § 0.5). Последнее обстоятельство объясняется тем, что в силу зависимости параметра интегрального оператора в (1.11) от точ ки наращиваемого тела записанное здесь уравнение (1.31) не является тривиальным следствием стандартного дифференциального уравнения равновесия, как это было на этапе до начала наращивания (см. § 1.2).

Стоит еще обратить внимание на тот факт, что из-за разрывов функ ции 0(r) на границах частей шара, сформированных на различных эта пах непрерывного роста, тензор напряжений в общем случае также не может быть непрерывным во всей области, занимаемой в данный мо мент наращиваемым телом. Это следует из (1.11), оставаясь, понятно, справедливым и после остановки роста.

Дифференцируя уравнение (1.31) по времени t, получаем с учетом (1.32) и (1.5) следующее дифференциальное уравнение для тензора S:

–  –  –

Обратимся теперь к краевому условию на поверхности непрерывно растущего шара. Условие, отражающее факт отсутствия начальных на пряжений в притекающем материале, имеет в текущий момент времени

t (t2k1, t2k ) следующий вид (см. § 0.5):

–  –  –

Заметим, что данное условие согласовано с требованием равенства нулю вектора напряжения на текущей поверхности роста, упомянутым выше в связи с возможностью использования уравнения (1.31). Отметим так же, что подобное (1.34) условие, задающее сразу все компоненты тензо ра напряжений на некоторой части граничной поверхности, не является традиционным в механике деформируемого твердого тела. Но при этом именно такого рода условие выставляют обычно на подвижной границе

ГЛАВА 1. НАРАЩИВАНИЕ ШАРА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

наращиваемого тела при рассмотрении вопроса о его деформировании (см. § 0.5, а также [8, 9, 18, 25, 28, 49, 85]).

Совокупность условий (1.34) для всех моментов k-го этапа наращива ния может быть записана как

–  –  –

Первое слагаемое в силу уравнения (1.31), равенства (1.32), представле ния (1.8), определения (1.5) и тождества (1.6) равно e r f (r) G (r).

Во втором слагаемом первый сомножитель может быть вычислен после дифференцирования по r тождества (1.10):

(r) = er (r) = er a(k) (r).

В результате получим следующее соотношение:

–  –  –

Рассматривая его на поверхности r = a(k) (t), приходим в силу (1.9) к простому граничному условию для тензора S на поверхности роста, со ответствующей текущему моменту времени t (см. § 0.5)

–  –  –

где обозначено q(k) (t) = f a(k) (t) a(k) (t)/G(t).

Теперь остается только сформулировать граничное условие в центре шара. Как и на этапе до начала наращивания, это должно быть требова ние неподвижности центральной точки. В осуществляемом на рассматри ваемом этапе варианте постановки задачи (для скоростей всех характе ристик напряженно-деформированного состояния) оно, очевидно, может быть записано в форме v(r, t) 0, r 0 для всех t (t2k1, t2k ).

Итак, собирая вместе полученные выше соотношения, можем сформу лировать на k-м этапе непрерывного наращивания следующую краевую

1.4. Деформирование шара после остановки роста 49 задачу, зависящую от времени t как от вещественного параметра:

–  –  –

1.4 Деформирование шара после остановки роста Рассмотрим теперь период деформирования шара от момента прекра щения k-го этапа его наращивания, и если k N, до момента начала то есть на интервале времени t (t 2k, t2k+1), где следующего этапа формально считается t2N +1 = +. На этом временном интервале, как уже отмечалось в § 1.3, локальное условие равновесия всего сформиро ванного к его началу тела можно, как и на предыдущем этапе деформи рования, сформулировать в виде дифференциального уравнения (1.33).

Однако на поверхности шара вместо неклассического условия (1.34), задающего полный начальный тензор напряжений, теперь необходимо поставить традиционное условие отсутствия напряжения, что соответ ствует принятому выше требованию незагружения поверхности шара на протяжении всего процесса его деформирования. Это требование обеспе чивает возможность использования после начала роста в качестве ана лога уравнения равновесия упрощенного дифференциального уравнения (1.31) (см. § 1.3). Названное краевое условие имеет вид

er · T(r, t) = 0, r = ak.

Точно такое же условие, понятно, может быть записано на граничной поверхности шара и для тензора S.

Формы записи уравнение состояния и граничного условия в центре шара, использованные на предыдущем этапе, на данном этапе деформи рования, естественно, сохраняют свой прежний вид.

Таким образом, в паузе между k-м и (k + 1)-м этапами наращивания или, если k = N, после окончательной остановки роста имеем следую

ГЛАВА 1. НАРАЩИВАНИЕ ШАРА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

щую краевую задачу:

–  –  –

которая также содержит вещественный параметр t.

1.5 Напряженно-деформированное состояние кусочно-непрерывно наращиваемого шара Сравнивая краевые задачи (1.36) и (1.37), описывающие деформиро вание шара соответственно на произвольном k-м этапе наращивания и после его окончания, нетрудно заметить следующую особенность. Если ввести функцию

–  –  –

Задача (1.39) с точностью до замены в ней вектора v на вектор пе ремещения, а тензоров D и S соответственно на тензор деформации и отнесенный к модулю сдвига тензор напряжений является классиче ской граничной задачей линейной теории упругости для переменных во времени шаровой области и некоторой заданной на ней объемной и

1.5. Напряженно-деформированное состояние наращиваемого шара 51

–  –  –

В том особом случае, когда приток материала начинается сразу к некоторому точечному центру при отсутствии какого-либо исходно су ществующего тела, то есть при a0 = 0 (в этом случае в рассматриваемой задаче отсутствует разобранный в § 1.2 этап деформирования исходного тела до начала его наращивания), условия (1) или (2) утверждения 1.1 также будут выполнены ввиду следующих обстоятельств. При фиксиро 0 функция t, 0(r) t аргумента r 0, a(t) яв ванном t t1 ляется неотрицательной, монотонной и ограниченной функцией в силу неотрицательности и строгой монотонности по производной (t, )/ t меры ползучести (см. свойства меры ползучести в § 0.4), строгой моно тонности функции 0 (r), а также требования (1.42), в котором в данном случае можно считать t0 = t1. Поэтому при выполнении первого огра ничения (1.24) аналогичное ограничение согласно признаку Абеля [40] будет выполняться и для функции f (r) t, 0 (r) t. Если же имеет место второе из условий (1.24), то эта функция будет, очевидно, также удовлетворять подобному условию.

Таким образом, в соответствии с утверждением 1.1 всякое решение уравнения (1.41), удовлетворяющая (кинематическому) условию задачи (1.40) при r 0, должно иметь вид

–  –  –

Неизвестная функция C(t) должна быть определена из (силового) условия задачи (1.40) при r = a(t). Для этого, используя формулу (1.23) и соотношения задачи (1.40), вычислим

–  –  –

В точках исходной части шара компоненты тензора T r, 1(r), выпол няющего в данной формуле роль начального значения, берутся из ре шения задачи (1.12), описывающей деформирование исходно существую щего тела до начала его наращивания, то есть находятся по формулам (1.28) при t = t1. В дополнительной части, сформированной в резуль тате кусочно-непрерывного наращивания, данный тензор тождественно

ГЛАВА 1. НАРАЩИВАНИЕ ШАРА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

–  –  –

Напомним, что в рассматриваемой задаче наращивания нижний предел 0(r) интегралов в (1.48) и (1.49) определяется формулой (1.8).

1.6 Скачок тензора напряжений на границе раздела исходной и дополнительной частей произвольного наращиваемого тела Отвлечемся на время от рассматриваемой задачи и проведем здесь ка чественный и количественный анализ одного важного свойства решения (1.49) уравнения (1.48), с помощью которого осуществляется восстанов ление эволюции тензора истинных напряжений по известной эволюции тензора T(r, t) в любом наращиваемом вязкоупругом теле (см. § 0.5).

Рассмотрим произвольное наращиваемое тело, подчиненное уравне нию состояния (1.2), предполагая для простоты, что ядро релаксации

R(t, ) удовлетворяет следующему ограничению:

t t : R(t, ) кусочно-непрерывна по на [t, t], (1.50)

где t 0 некоторый момент времени, зависящий только от свойств рассматриваемого материала.

Будем считать, что в процессе наращивания дополнительный мате риал присоединяется к поверхности растущего тела в некотором, вооб ще говоря, ненулевом начальном напряженном состоянии, возникающем непосредственно в момент присоединения. Это значит, во-первых, что

1.6. Скачки напряжений на разделе исходной и дополнительной частей тела 55

–  –  –

2) тензорная функция T(r, t) непрерывна по совокупности аргумен тов во всех областях U0 t(i1), t(i) (i = 1,..., n), где U0 = U 0,

1.6. Скачки напряжений на разделе исходной и дополнительной частей тела 57

–  –  –

Значит для выбранного t t1 найдется такая окрестность Ut U точки r, что 1 (r) t для любого r Ut. Если t t(0), то, очевидно, можно считать Ut = U.

t Доказательство непрерывности интеграла 1 (r) R(r, )R(t, )d по r на компакте Ut аналогично проведенному выше доказательству непре рывности функции R(r, ) и основано как раз на этом факте и принятом свойстве ядра релаксации (1.50).

t Интеграл 1 (r) R(t, )d непрерывен по r на Ut как композиция двух непрерывных функций соответствующего интеграла с переменным нижним пределом и функции 1(r).

t Для выбранного момента времени t интеграл t01 T (r, )R(t, )d как функция r непрерывен на компакте U0 в силу условия (2) теоремы и свой ства (1.50) ядра релаксации. В этом легко убедиться, разбивая данный интеграл в сумму интегралов по отрезкам, соответствующим совместной непрерывности тензор-функции T(r, ) по совокупности ее аргументов и функции R(t, ) по, и привлекая затем сведения из [40].

Для функции T (r) G 1(r) ввиду условия (3), а также непрерывно сти модуля сдвига по времени (см. § 0.4) и формулы (1.62) существует предел при A r r, равный T (r |A )/G(t1).

Таким образом, вычисляя предел выражения (1.60) при 0 r r и выражения (1.61) при A r r с учетом второй части условия (2) теоремы и равенства 1(r) = t1, приходим к формуле (1.56).

Замечание 1. Понятно, что в самом общем случае не все точки мно жества принадлежат той части границы исходного тела, к которой в момент t1 начинается приток дополнительного материала. Условие (1) теоремы по существу означает, что точка r лежит именно на этой части границы, то есть на первоначальной базовой поверхности роста. # Замечание 2. Важно понимать, что распределение тензора T в ис ходном теле в момент времени t1 хотя и определяется еще из решения классической задачи для этого тела, но должно уже учитывать нагрузку, возникающую на первоначальной базовой поверхности роста в началь ный момент процесса наращивания вследствие притока к ней нового ма териала и согласованную с тензором начальных напряжений T (r) на этой поверхности (см. также § 0.5). # Замечание 3. Отметим, что в множество моментов времени t(i), разделяющих области непрерывности тензор-функции S(r, t), как пра вило, входят временные границы различных этапов непрерывного роста рассматриваемого тела. #

ГЛАВА 1. НАРАЩИВАНИЕ ШАРА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

Замечание 4. Определяющее соотношение (1.2) в качестве вырож денного частного случая содержит уравнение состояния линейно упру гого однородного изотропного материала. Для такого материала нужно положить G(t) const, R(t, ) 0. В этом случае g (r, t) g(r, t)/G и формула (1.56) дает не изменяющийся со временем скачок тензора на пряжений T(r, t) T (r |A ) T(r |0, t1). # Следствие 1.1. В условиях теоремы 1.1 эволюция во времени скач ка тензора напряжений в точке первоначальной базовой поверхности роста после начала процесса наращивания определяется только свой ствами материала, моментами первоначального загружения исходно го тела и начала притока к нему дополнительного вещества, историей деформирования окрестности рассматриваемой точки на всем отрезке времени между указанными моментами, а также тензором началь ных напряжений, задаваемым около данной точки непосредственно по сле начала роста, и не зависит от конкретных параметров всего по следующего процесса наращивания и нагружения тела.

Следствие 1.2. Пусть на всем отрезке времени t [t0, t1 ] вплоть до начала наращивания исходное тело деформируется только под воздей ствием постоянной во времени объемной и поверхностной нагрузки при однородных кинематических ограничениях, а затем в некоторой точке r одна из физических компонент Tij (r|A ) тензора начальных на пряжений (в некоторой ортогональной системе координат в окрестно сти этой точки) равна нулю. Тогда при выполнении для точки r всех условий теоремы 1.1 эволюция скачка соответствующей физической компоненты Tij тензора напряжений в этой точке при переходе через поверхность дается зависимостью e t t1, t(m), Tij (r, t) = Tij (r |0 )D(t, t1, t0 ), (1.63) e где Tij соответствующая физическая компонента тензора напря жений, найденного из решения чисто упругой классической задачи для исходного тела при тех же кинематических ограничениях и нагрузке, что и в рассматриваемой вязкоупругой задаче, а функция

–  –  –

однозначно определяется свойствами рассматриваемого вязкоупругого стареющего материала и при больших значениях s мало отлича ется от единицы.

1.6. Скачки напряжений на разделе исходной и дополнительной частей тела 61

–  –  –

Преобразуем выражение, определяющее функцию D. Добавим к сла t гаемым в фигурных скобках величину (t, t0) + t1 (, t0)R(t, )d и обратную ей по знаку. В результате, группируя надлежащим образом слагаемые и вспоминая определение (1.4) интегрального оператора N s, получим, что

–  –  –

Замечая, что здесь на основании соотношений (1.7) и (1.3) первое слагае мое в фигурных скобках равно G(t)1, а разность, записанная в квадрат ных скобках во втором слагаемом, согласно (1.5) есть (t 1, t0) (t, t0 ),

ГЛАВА 1. НАРАЩИВАНИЕ ШАРА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

–  –  –

Беря произвольное 0 и полагая 0 = 2P (1 + Q), получим, что 0 M 0 : s M = D(t, s, ) 1 t s.

Это и означает выполнение указанного свойства функции D.

Замечание. Механический смысл отмеченного в следствии свойства функции D состоит в том, что при достаточно длительном деформиро вании тела до начала наращивания исчезает зависимость скачка напря жения Tij от времени, а также от моментов загружения исходного тела и начала его наращивания. При этом величина скачка с обратным знаком становится равной соответствующему упругому напряжению в рассмат риваемой точке базовой поверхности перед началом процесса роста. #

1.7. Особенности напряженного состояния наращиваемого шара 63 В заключение этого параграфа отметим, что для использования фор мулы (1.56), составляющей содержание доказанной здесь теоремы 1.1, нет необходимости в нахождении решения неклассической задачи о де формировании рассматриваемого вязкоупругого стареющего тела после начала его наращивания. В соответствии со следствием 1.1 достаточно знать лишь напряженное состояние исходного тела до и непосредственно в момент начала его роста, а также начальное напряженное состояние материала, присоединяемого к этому телу сразу после этого момента.

Причем и то, и другое только вблизи интересующей нас точки на гра нице раздела исходной и дополнительной частей формируемого тела. Это обстоятельство делает возможным использование формулы (1.56) или при соответствующих условиях вытекающей из нее зависимости (1.63) в качестве одного из критериев точности построения численного решения полной задачи наращивания рассматриваемого тела.

1.7 Особенности напряженного состояния наращиваемого шара В этом параграфе мы докажем и обсудим несколько интересных фак тов, наблюдаемых в задаче о наращивании вязкоупругого стареющего шара в произвольном центрально-симметричном силовом поле.

Заключения, сделанные в п. 1 данного параграфа, вытекают из об щих утверждений, доказанных в § 1.6. Пункт 2 является продолжением исследований, начатых в § 1.6 для произвольного наращиваемого тела, но уже применительно к рассматриваемой в данной главе конкретной задаче. Выводы, аналогичные полученным в этом пункте, могут быть сформулированы и для общего случая наращивания с остановками про извольного линейно вязкоупругого тела. Однако такого рода обобщение требует обсуждения ряда вопросов, связанных с чисто геометрическими особенностями возможных процессов поверхностного роста произвольно го тела и не вписывающихся в рамки настоящей диссертации.

Результаты, приведенные в п. 3, и вытекающее из них следствие 1.4 (см. § 1.8), отличают поведение именно изучаемого в текущей главе рас тущего шарового тела и обусловлены, главным образом, центральной симметрией поставленной для него задачи наращивания.

Все общие свойства, отмеченные в настоящем параграфе, будут проил люстрированы затем графически на примере числового решения частной задачи о наращивании гравитирующего шара (см. § 1.9).

ГЛАВА 1. НАРАЩИВАНИЕ ШАРА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

1. Поведение напряжений в окрестности первоначальной ба зовой поверхности роста. Как следует из результатов § 1.6, одной из характерных особенностей напряженного состояния, присущей в общем случае любому наращиваемому телу, является разрыв тензора напряже ний на первоначальной базовой поверхности роста. В рассматриваемой задаче о наращивании шара таковой служит вся граница исходного те ла, описываемая уравнением r = a0. Эволюция скачков радиального и окружного напряжений при переходе через эту поверхность после на чала процесса наращивания может быть определена на основании след ствия 1.2 по формуле (1.63) с использованием зависимостей (1.29):

a0 +0 a0 +0 0, r (r, t) (r, t) = 60 (a0)D(t, t1, t0), t t1. (1.66) r=a0 0 r=a0 0 Как и должно быть, радиальное напряжение непрерывно на поверхно сти раздела исходной и дополнительной частей шара, что обеспечивает механический контакт данных частей. Однако непрерывный график за висимости радиального напряжения от радиальной координаты имеет излом в точке r = a0. Величину соответствующего разрыва производной легко определить по скачку окружного напряжения, воспользовавшись дифференциальным уравнением равновесия шара · T = e r f (r). В ко ординатной форме в силу центральной симметрии задачи это уравнение, очевидно, имеет вид r r +2 = f (r), 0 r a(t). (1.67) r r Поэтому ввиду непрерывности радиального напряжения и рассматрива емого силового поля f (r) искомая величина разрыва производной равна

–  –  –

2. Поведение напряжений вблизи последующих базовых по верхностей. Нетрудно понять, что тензор напряжений будет терпеть разрывы не только на первоначальной, но и на всех последующих ба зовых поверхностях (роста), то есть на тех поверхностях, к которым начинается приток материала на очередном этапе непрерывного нара щивания (см. § 0.1). Величины этих разрывов в решаемой задаче мож но определить, исходя из формулы (1.55), в которой следует положить T (r) 0 и (r) (r), а затем перейти к пределам при r ak ± 0 (k = 1,..., N 1).

1.7. Особенности напряженного состояния наращиваемого шара 65 Введем непрерывную функцию

–  –  –

Сворачивая полученную формулу с единичным вектором e r и исполь зуя (силовое) граничное условие задачи (1.37) при r = a k, убеждаемся в выполнении условия механического контакта частей шара, разделяемых ak +0 поверхностью r = ak, в виде er · T(r, t)|r=ak 0 0, t t2k1. В нашем случае это эквивалентно отсутствию разрыва радиального напряжения ak +0 на данной поверхности, то есть r (r, t)|r=ak 0 0. При этом однако име ется разрыв производной r по радиальной координате в точках r = ak.

Величину разрыва можно определить по формуле

–  –  –

Здесь функция S (ak 0, t) на интервале времени t (t2k, t2k+1) нахо дится из решения задачи (1.40) в паузе между k-м и (k + 1)-м этапами непрерывного роста по формуле (1.45).

Анализируя зависимость (1.68) и краевую задачу (1.37), можем сфор мулировать следующее Утверждение 1.2. В линейно вязкоупругом стареющем шаре, на ращиваемом рассматриваемым образом в центрально-симметричном силовом поле (см. § 1.1), эволюция скачка тензора напряжений на гра нице раздела его частей, сформированных на k-м и (k + 1)-м этапах непрерывного роста ( k = 1,..., N 1), после начала (k + 1)-го эта па определяется только свойствами материала, силовым полем в той части тела, которая существовала на момент окончания k-го этапа роста, моментом времени загружения и размером части тела, суще ствующей до начала наращивания, историей формирования шара на всех этапах его наращивания начиная с 1-го и заканчивая k-м, а так же продолжительностью паузы, выдержанной между k-м и (k + 1)-м этапами роста, и не зависит от программы всего последующего про цесса наращивания и интенсивности силового поля, воздействующего на присоединяемый при этом материал. Эта эволюция дается зависи мостью (1.68).

Замечание. Утверждение 1.2 существенно опирается на тот факт, что во все моменты времени, попадающие в интервал скачка функции (r), которая описывает распределение моментов времени включения в состав растущего тела отдельных его частиц (см. § 1.6), при перехо де через рассматриваемую базовую поверхность роста, в нашем случае отсутствует приток к телу дополнительного материала. #

1.7. Особенности напряженного состояния наращиваемого шара 67

–  –  –

Сравнивая теперь соотношения (1.70) и (1.30) и анализируя зависи мость (1.71), можем сформулировать

ГЛАВА 1. НАРАЩИВАНИЕ ШАРА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

Утверждение 1.3. В точках изначально существующей части рас сматриваемого наращиваемого шара девиатор напряжений не изменя ется со временем на протяжении всего процесса наращивания и после его завершения, сохраняя свои упруго-мгновенное значения, возникшие в момент первоначального загружения исходного тела. Соответству ющее тензорное поле имеет вид (1.70). Эволюция девиатора напря жений в каждой точке дополнительной части определяется только свойствами материала, моментом загружения и размером исходно го тела, а также историей формирования шара вплоть до момента включения рассматриваемой точки в состав тела и силовым полем в пределах существующей на этот момент части шара и не зависит от программы всего последующего процесса наращивания и интенсив ности силового поля, воздействующего на присоединяемый при этом материал. Эта эволюция дается зависимостью (1.71).

Замечание 1. Обратим внимание на то, что функция 0 (r) не зави сит от размера a0 того тела, которое существовало до начала наращива ния (см. определение (1.26) этой функции). Значит девиатор напряжений в исходной части любого наращиваемого оговоренным в § 1.1 образом шара изменяется вдоль радиуса точно так же, как если бы эта часть вхо дила в состав ненаращиваемого (классического) шара, находящегося в рассматриваемом силовом поле. # Замечание 2. Из симметрии задачи вытекает, что в центре шара реализуется шаровое напряженное состояние (то есть с нулевым девиа тором). Это можно установить и непосредственно, опираясь на свойство (1.24) действующего силового поля f (r), из соотношения (1.70) в слу чае существования исходного тела конечного размера a 0 0 или из со отношения (1.71) и определения (1.64) функции D, если исходное тело отсутствует (a0 = 0). # Следствие 1.3. При достаточно большой продолжительности па узы перед k-м этапом ( k = 1,..., N ) непрерывного роста рассматри ваемого шара девиатор напряжений dev T|r=ak1 +0 в слое материала, который будет присоединен к телу непосредственно после начала дан ного этапа, на протяжении всего последующего процесса деформирова ния этого слоя будет сколь угодно мало отличаться от нуля.

Доказательство. Переходя к пределу при r ak1 + 0 в соотно шении (1.71), будем для t t2k1 иметь

1.8. Упругий случай 69

–  –  –

1.8 Упругий случай Все проведенные выше рассуждения остаются, разумеется, в силе и в частном случае чисто упругого поведения материала. В этом случае нужно всюду считать (t, ) 0, G(t) const. Это в соответствии с (1.4) и (1.5) означает, что для произвольной функции точки тела и времени определение (1.11) вырождается в равенство

–  –  –

Как видим, напряженное состояние упругого шара, наращиваемого в заданном центрально-симметричном силовом поле, не зависит явно ни от времени, ни от конкретной реализуемой программы наращивания (то есть от количества этапов наращивания, вида соответствующих им зако нов увеличения радиуса и длительности пауз перед этапами). Оно опреде ляется лишь текущим размером шара и размером его исходно существу ющей части, а также коэффициентом Пуассона используемого материа ла; после прекращения роста напряженное состояние сформированного

1.8. Упругий случай 71 шара не меняется, а скорости движения всех его частиц равны нулю.

Этого, конечно, и следовало ожидать. Однако, как четко показывают приведенные в настоящем параграфе выражения, такое положение ве щей ни в коем случае не означает, что напряженно-деформированное состояние упругого шара, наращиваемого в центральном силовом поле, может быть найдено из решения классической задачи теории упругости для тела с параметрически изменяющейся границей.

Напряженному состоянию наращиваемого упругого шара присущи все отмеченные в § 1.7 характерные свойства, за исключением, естественно, разрывов окружного напряжения и производной радиального напряже ния по радиальной координате на поверхностях r = a k (k = 1,..., N 1), разделяющих части шара, полученные на различных этапах его непре рывного роста (то, что указанные разрывы должны отсутствовать, на прямую вытекает из выводов, сформулированных в начале предыдущего абзаца; однако в этом можно убедиться и непосредственно: на основании верного в упругости тождества R(t, ) 0 и выражения (1.75) для ком поненты S из зависимости (1.69) имеем t2k+1 |ak +00 a ( )f a( ) d, t t2k+1, r=ak t2k но на временном интервале интегрирования радиус шара не изменяется ввиду отсутствия роста, то есть a ( ) 0 при t2k t2k+1).

Скачок окружного напряжения на поверхности r = a 0 раздела исход ной и дополнительной частей упругого шара согласно (1.66) и имеющему место в упругом случае тождеству D(t, s, ) 1 (1.78) (см. определение (1.64) функции D) не изменяется со временем и состав a0 +0 ляет величину |r=a0 0 60 (a0), t t1.

Что касается девиатора напряжений, то в исходной части шара, как и в общем вязкоупругом случае, на протяжении всего процесса деформиро вания этой части данный тензор не зависит от времени и определяется соотношением (1.70) (см. утверждение 1.3).

В дополнительной части в силу зависимости (1.71) и тождества (1.78) для него оказывается спра ведливым более сильное, чем при наличии ползучести, утверждение:

Следствие 1.4. В каждой точке возникшей в результате наращи вания части упругого шара, формируемого рассматриваемым образом в произвольном центрально-симметричном силовом поле (см. § 1.1), де виатор напряжений тождественно равен нулю во все моменты време ни после включения этой точки в состав растущего тела.

ГЛАВА 1. НАРАЩИВАНИЕ ШАРА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

Это означает, что присоединяемый к шару дополнительный материал всегда загружен как идеальная жидкость (то есть тензор напряжений является шаровым независимо от поля скоростей движения частиц [80]).

Таким образом, характерные неклассические особенности деформиро вания упругого шара, наращиваемого в рассматриваемом поле массовых сил, как видим, выражены во многом даже более ярко, чем в общем слу чае вязкоупругого материала. Из дальнейшего изложения станет ясно, что этот вывод касается не только изучаемой в данной главе задачи о ша ре, а отражает саму сущность такого рода задач механики, где ставится вопрос о наращивании вязкоупругого и, как частный случай, упругого тела в присутствии воздействующих на них массовых сил.

–  –  –

различных режимах его наращивания. Для этого зададим меру ползуче сти в форме [4]:

(t, ) = A( ) 1 + e(t ), где A( ) функция старения, 0 коэффициент масштаба времени.

Аппроксимируем модуль сдвига G(t) и функцию старения A( ) зави симостями (см. § 0.4) G(t) = G 1 G et, A( ) = A + A e.

Для числовых расчетов примем [28] / = 2, G = 0.5; / = 31/60, A G = 0.5522, A G = 4.

Отметим, что такие значения параметров аппроксимации характеристик вязкоупругого материала соответствуют экспериментальным данным по ползучести некоторых видов бетона и горных пород [76].

Введем следующую систему базовых безразмерных величин. Величи ны, имеющие размерность времени, умножим на, а имеющие размер ность длины и напряжения отнесем соответственно к исходному ра диусу шара a0 и модулю сдвига G материала в его весьма большом возрасте. Все размерные физические величины, приведенные с помощью этой системы к безразмерному виду, будем помечать чертой сверху; так

–  –  –

Фиг. 1.1.

Распределение радиальных и окружных напряжений и интенсивности касательных напряжений в наращиваемом шаре:

быстрое наращивание; (d)–(f ) медленное наращивание.

(a)–(c)

ГЛАВА 1. НАРАЩИВАНИЕ ШАРА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

Фиг. 1.2. Финальное распределение интенсивности касательных напряжений в шаре, сформированном при различных режимах наращивания за два этапа:

число рядом с кривой соответствует номеру режима (см. в тексте).

диального r и окружного напряжений и интенсивности касательных, отнесенных к величине c, от безразмерной радиальной напряжений T координаты r в различные моменты соответственно быстрого и мед ленного процессов наращивания.

Четко видны разрывы всех эпюр окружного напряжения на границе раздела исходной и дополнительной частей шара; заметен характерный излом соответствующих эпюр радиального напряжения на этой границе (см. п. 1 в § 1.7). Оба напряжения возрастают по модулю во всех точках тела вплоть до момента остановки роста, после чего абсолютное значение радиального напряжения уменьшается в каждой точке до соответствую щего установившегося значения, а окружные напряжения перераспре деляются с исходного материала на присоединившийся, выходя также на некоторое финальное распределение. Финальные распределения ради ального и окружного напряжений зависят от скорости притока материа ла в процессе наращивания: чем быстрее происходит процесс роста, тем в большей степени успевают снизиться радиальные и перераспределиться окружные напряжения и тем соответственно более приближенным ока зывается итоговое напряженное состояние постепенно сформированного тела к состоянию точно такого же тела, но сформированного мгновен но. Окружное напряжение на поверхности окончательно сформировав шегося шара может в пределе оказаться по модулю как больше (при достаточно быстром наращивании), так и меньше (при достаточно мед ленном процессе роста) своего первоначального значения на поверхности

1.9. Наращивание гравитирующего шара 77 исходно существующего тела. При этом абсолютная величина окружного напряжения на границе наращиваемого шара после остановки его роста всегда меньше, чем на границе аналогичного ненаращиваемого (в про цессе роста эта величина, очевидно, равна нулю).

Интенсивность касательных напряжений также разрывна на грани це двух составных частей шара. Она не изменяется со временем внутри исходной части (см. утверждение 1.3) и развивается в дополнительной до некоторой предельной зависимости. Вид последней существенно за висит от скорости роста, а максимум может оказаться как больше (при достаточно быстрых процессах роста), так и меньше (при относитель но медленном наращивании) максимального значения интенсивности в исходной части тела, однако он всегда меньше максимума данной ха рактеристики в мгновенно изготовленном шаре окончательного размера.

Фиг. 1.3.

Эволюция во времени давления в центре шара, наращиваемого при различных режимах (сплошные линии) и давление в центре нерастущего шара соответствующего размера (штриховые линии):

группа кривых I наращивание за один этап, II за два этапа;

число рядом с кривой в группе соответствует номеру режима (см. в тексте).

ГЛАВА 1. НАРАЩИВАНИЕ ШАРА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

Эпюра интенсивности в исходной части наращиваемого шара совпадает во все моменты времени с распределением интенсивности в пересечении этой части с ненаращиваемым шаром произвольного радиуса (см. заме чание 1 на стр. 68) и согласно (1.72) и (1.80) возрастает при удалении от центра пропорционально квадрату расстояния до него.

На фиг. 1.2 приведены финальные распределения отнесенной к c без размерной интенсивности касательных напряжений для различных ва риантов наращивания шара за два этапа. При этом во всех случаях пер вый этап протекает одинаково. Распределение 1 фактически отвечает случаю присоединения всего дополнительного материала за один этап наращивания с гладким законом увеличения радиуса и потому само яв ляется гладким во всей дополнительной части тела. Распределения 2 и 3 также непрерывны в этой части, но имеют излом на границе первого и второго дополнительных субтел (то есть составных частей тела, сфор мированных в результате непрерывного роста), что является следствием скачкообразного увеличения в первом случае и уменьшения во втором в два раза скорости роста в момент перехода от первого этапа ко второму (пауза между этапами в данных режимах отсутствует). Распределения 4 –9 имеют разрывы на границах раздела уже всех составных частей тела, поскольку перед каждым этапом наращивания здесь выдержана некоторая пауза. В случаях, соответствующих распределениям 7 –9, пау за перед вторым этапом оказывается достаточно продолжительной для того, чтобы интенсивность касательных напряжений во втором допол нительном субтеле вблизи его границы с первым оставалась с высокой точностью равной нулю во все моменты времени после начала второго этапа роста (см. следствие 1.3). Положение и значение максимума ин тенсивности в наращиваемом за два этапа шаре существенным образом зависит от реализуемого режима наращивания, но в любом случае это значение не превышает максимального значения интенсивности в анало гичном мгновенно сформированном гравитирующем шаре.

На фиг. 1.3 изображена времення эволюция величины давления в а центре шара (где имеет место всестороннее сжатие см. п. 3 в § 1.7) p(t) = r (0, t) + 2 (0, t) 3 r (0, t) (0, t) при различных режимах наращивания шара за один и за два этапа. Там же показаны (штриховыми линиями) значения данной характеристики для нерастущего шара соответствующего каждому моменту времени раз мера. Как видим, давление в центре шара, постепенно формируемого в поле сил собственной гравитации, в каждый момент времени выше, чем

1.9. Наращивание гравитирующего шара 79 у аналогичного мгновенно сформированного шара.

–  –  –

образом, максимальные значения указанных характеристик в наращива емом в условиях собственной гравитации упругом шаре не зависят от времени и достигаются в исходно существовавшей части тела на ее гра нице r = a0 с дополнительным материалом.

Необходимо отметить, что в работе [92] решалась задача об определе нии напряженно-деформированного состояния упругого гравитирующе го полого шара, сформированного в результате непрерывного роста по внешней поверхности при отсутствии исходного тела. Процесс рассмат ривался как предельный случай дискретного наращивания слоями конеч ной толщины. Полученные в итоге распределения скоростей движения частиц и напряжений при нулевом значении внутреннего радиуса (и по сле перехода к параметрам и обозначениям, используемым в настоящей работе) в точности совпадают с зависимостями (1.81) и (1.82).

1.10 Основные результаты и выводы Подведем итоги проведенных в этой главе исследований.

1. Построена математическая модель кусочно-непрерывного роста вязко упругого стареющего или упругого шарового тела за счет поверхност ного притока к нему дополнительного материала в условиях действия произвольного центрально-симметричного силового поля. Получены замкнутые решения соответствующих краевых задач механики нара щиваемых деформируемых тел.

2. Доказана общая теорема об эволюции во времени скачка тензора на пряжений на поверхности раздела исходной и дополнительной частей произвольного наращиваемого тела. Показано, что данная эволюция не зависит от параметров процесса роста и нагружения тела после начала притока к нему дополнительного материала. Получено явное выражение для соответствующей зависимости. Одним из ее практи ческих применений может быть использование для оценки точности построения численных решений конкретных задач наращивания.

3. На примере рассматриваемой задачи о шаре показан способ аналити ческого получения зависимостей величин разрывов и изломов распре делений напряжений от времени при переходе через любую базовую поверхность внутри наращиваемого тела в тех случаях, когда эта по верхность совпадает с последней поверхностью роста на предыдущем этапе непрерывного наращивания.

1.10. Основные результаты и выводы 81

4. Обнаружен ряд замечательных особенностей поведения девиатора на пряжений в наращиваемом шаре, не зависящих от вида действующего на него силового поля:

а) в исходно существующем ядре шара поле девиатора напряжений стационарно, а в каждой точке дополнительной части его эволю ция определяется историей формирования тела только до момента включения в него данной точки;

б) при достаточно большой продолжительности паузы перед очеред ным этапом непрерывного роста девиатор напряжений в матери альном слое, присоединенном к телу в самом начале этого этапа, будет на протяжении всего дальнейшего процесса деформирова ния сколь угодно мало отличаться от нуля;

в) вся сформированная в результате наращивания часть чисто упру гого твердого шара оказывается загруженной как жидкость.

5. Проведены числовые расчеты для гравитирующих объектов, форми рующихся в процессе аккреции. Изучено влияние характера и скоро сти роста на эволюцию и установившиеся распределения основных ха рактеристик напряженно-деформированного состояния таких тел. В расчетах выявлено, в частности, что:

а) положения и значения максимумов интенсивности касательных на пряжений и наибольшего касательного напряжения в теле суще ственным образом зависят от реализуемого режима наращивания, но в любом случае данные значения не превышают соответствую щих максимумов в аналогичном ненаращиваемом гравитирующем шаре, где указанные характеристики пропорциональны квадрату удаления от центра;

б) давление в центре шара, постепенно формируемого в поле сил соб ственной гравитации, всегда выше, чем у мгновенно сформирован ного шара соответствующего размера.

На основании выполненных в этой главе исследований можно, к при меру, заключить, что в процессе аккреции должны формироваться тела с необычными с точки зрения классической механики деформируемого твердого тела свойствами, в определенном смысле лучшими, чем пред сказывают известные теории. При этом основные закономерности дефор мирования, свойственные таким телам, не зависят от конкретного вида

ГЛАВА 1. НАРАЩИВАНИЕ ШАРА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

закона гравитации, а определяются лишь геометрическими особенностя ми рассматриваемой задачи наращивания.

Отметим еще, что результаты данной главы могут быть также исполь зованы при моделировании процессов электролитического формования тел сферической формы и нанесения на такие тела покрытий электро статическим способом.

Глава 2

Формирование цилиндрическогослоя на вращающейся оправке

В этой главе на основе подходов механики наращиваемых тел изуча ются процессы изготовления упругих и стареющих вязкоупругих цилин дрических тел и покрытий посредством послойного нанесения материала с произвольным натягом на наружную или внутреннюю поверхность вра щающейся оправки или заготовки. Моделирование проводится с учетом влияния центробежных сил. Даны постановки соответствующих краевых задач наращивания. Построены их замкнутые решения. Предложен эф фективный метод определения остаточных напряжений в готовом теле.

Приведены результаты расчетов для двух модельных задач (о силовой намотке и о внутреннем напылении). Показана принципиальная необ ходимость совместного рассмотрения факторов постепенного притока к телу нового материала и действия на это тело центробежных сил. Оцене но влияние на итоговое состояние изделий из вязкоупругого стареющего материала пауз в процессе их изготовления.

Основные результаты главы отражены в работах [39, 55, 70, 94].

ГЛАВА 2. ФОРМИРОВАНИЕ СЛОЯ НА ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ОПРАВКЕ

Введение Одним из способов изготовления или усиления определенного рода элементов конструкций и деталей машин, а также одним из вариантов технологии нанесения на них покрытий может быть организация направ ленного потока или послойная намотка материала на поверхность оправ ки или заготовки, приведенной во вращательное движение вокруг своей оси. Если скорость вращения и поперечный размер изделия достаточно велики, то под воздействием центробежных сил формируемый слой мо жет испытывать заметные напряжения и деформацию. Помимо этого, деформирование слоя может быть вызвано и созданием в присоединяе мом материале некоторых предварительных напряжений. Понятно, что указанные факторы нельзя не учитывать при оценке прочности изделия во время его изготовления.

Поскольку отдельные монослои (элементарные слои) материала при соединяются к телу последовательно и включаются в процесс совмест ного деформирования неодновременно, причем, вообще говоря, в произ вольном начальном напряженно-деформированном состоянии, то во всем сформированном в результате описанного процесса теле неизбежным об разом должны оставаться некоторые напряжения. Их распределение бу дет определяющим образом зависеть от различных параметров рассмат риваемого технологического процесса. Зачастую остаточные напряжения негативно отражаются на качестве готового изделия и его эксплуатацион ных характеристиках, представляя тем самым нежелательный фактор.

Однако во многих ситуациях их создание является одной из основных це лей проводимых технологических манипуляций. Таким примером может служить усиление или изготовление сосудов высокого давления и ство лов артиллерийских орудий намоткой на наружную поверхность тонко стенной заготовки нескольких слоев предварительно растянутой высо копрочной проволоки или ленты. Ясно, что в любом случае обеспечение допустимых или создание требуемых полей технологических остаточных напряжений в получаемых в итоге изделиях должно быть одной из задач их оптимального проектирования.

2.1 Постановка задачи Будем далее полагать, что рабочая поверхность оправки или заготов ки представляет собой поверхность вращения, а толщина присоединя

2.1. Постановка задачи 85 емых в процессе наращивания монослоев настолько мала, что скорость притока материала в окружном направлении несравнимо выше скорости его притока в направлении радиальном. Кроме того, пусть утолщение слоя происходит равномерно по его окружности, так что на протяжении всего процесса наращивания слой сохраняет осесимметричную форму.

Предполагая также, что жесткость наносимого материала существенно ниже жесткости тела, на которое он наносится, будем считать последнее абсолютно жестким.

Тогда в качестве возможной модели для описания упомянутых вы ше технологических процессов можно рассмотреть задачу о кусочно-непрерывном нанесении на жесткую оправку, вращающуюся вокруг своей оси с переменной угловой скоростью (t), замкнутых осесимметричных элементарных слоев материала с некоторым заданным начальным на пряженным состоянием. Исследуем здесь случай цилиндрического слоя, наращиваемого в условиях плоской деформации (возможные варианты соответствующих технологических процессов схематически изображены на фиг. 2.1). Задачу рассмотрим в квазистатической постановке, отка завшись от учета динамических эффектов, то есть пренебрегая силами инерции деформирования материала по сравнению с силами инерции его вращательного движения вместе с оправкой. При этом будем предпо лагать достаточно медленное изменение во времени скорости вращения 2 (t), так что тангенциальными силами инер оправки, считая (t)                                          Фиг. 2.1. Возможные технологические процессы формирования цилиндрического слоя на вращающейся оправке.

ГЛАВА 2. ФОРМИРОВАНИЕ СЛОЯ НА ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ОПРАВКЕ

ции можно пренебречь по сравнению с центробежными силами.

Анализ проведем для случая малых деформаций. При этом допуще нии закон изменения одного из радиусов наращиваемого слоя можно счи тать заданной непрерывной функцией времени x(t), строго монотонной на N интервалах t (t2k1, t2k ) (k = 1,..., N ) непрерывного нанесе ния материала и постоянной вне этих интервалов. Другой радиус слоя обозначим через x0 и положим xk = x(t2k ) значения изменяющегося радиуса слоя после окончания k-го этапа непрерывного роста.

Особо отметим то обстоятельство, что приводимые ниже формулы и рассуждения являются универсальными и справедливы независимо от того, изменение какого из радиусов растущего цилиндра задает функция x(t) внешнего или внутреннего.

Используемый материал будем считать вязкоупругим стареющим, од нородным и изотропным; отсчет времени t будем вести от момента его изготовления. Уравнение состояния материала запишем в виде (см. § 0.4)

–  –  –

Здесь 0 (r) момент возникновения напряжений в точке тела с радиус-вектором r; T(r, t) и E(r, t) тензоры напряжений и малой де формации, 1 единичный тензор 2-го ранга; G(t) модуль сдвига, = (1 2), коэффициент Пуассона. Оператор вязкоупругости определяется соотношениями

–  –  –

(, ) 0, 0. (2.3) С учетом тождества (2.3) функция удельной деформации может быть также представлена в виде

–  –  –

Пусть Hs оператор, действующий по правилу Hs f (t) = (I Ls ) f (t) G(t).

Введем обозначение g (r, t) = H0 (r) g(r, t), (2.5) где g(r, t) произвольная функция точки тела и времени.

С использова нием (2.5) определяющее соотношение (2.1) можно переписать в следую щей эквивалентной форме [49]:

T (r, t) = 2 E(r, t) + ( 1) 1 tr E(r, t). (2.6) Предположим, что нагружение материала осуществляется непосред ственно перед его присоединением к формируемому слою. Это значит, что напряжения в точках слоя, удаленных от оси его вращения на рас стояние, возникают в момент времени 0(r) (), (x0, xN ), (2.7) где () момент присоединения материального слоя радиуса. Здесь и далее при указании промежутков изменения полярного радиуса будем считать, что если первая граница промежутка располагается на числовой оси правее второй, то границы следует переставить в записи местами.

Ясно, что на каждом интервале t (t2k1, t2k ) (k = 1,..., N ) имеет место тождество x(t) t, (2.8) а уравнение () = t описывает мгновенную поверхность роста ту часть граничной поверхности растущего слоя, к которой в данный мо мент времени поступает дополнительный материал.

Заканчивая постановку задачи, отметим, что при моделировании, на пример, процессов изготовления намоточных композитов необходимо учитывать анизотропию материала. Краевую задачу для анизотропно го тела можно получить аналогично проделанному ниже в изотропном случае. Решение такой задачи и ее анализ выходят за рамки настоящей работы и могут стать предметом отдельных исследований.

2.2 Краевая задача для кусочно-непрерывно наращиваемого слоя Как следует из рассуждений, приведенных в § 0.5, задача кусочно-непрерывного наращивания может быть корректно поставлена в скорост ной форме. Запишем поэтому аналог принятого выше определяющего

ГЛАВА 2. ФОРМИРОВАНИЕ СЛОЯ НА ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ОПРАВКЕ

соотношения (2.6) для скоростных характеристик процесса деформиро вания. Такой аналог имеет следующий вид [49]:

–  –  –

где S тензор, определяемый по тензору напряжений, D тензор ско рости деформации, v(r, t) векторное поле скоростей частиц тела.

Свяжем с вращающейся жесткой оправкой круговую цилиндрическую систему координат (,, z) с правым ортонормированным репером {e, e, k}, направив вектор k вдоль оси вращения и отсчитывая от этой оси полярный радиус (фиг. 2.1).

В этой подвижной неинерциальной системе для рассматриваемого наращиваемого слоя справедливо стан дартное уравнение равновесия, в котором в качестве объемных сил вы ступают центробежные силы инерции:

c(t) = 2 (t) d, · T + f = 0, f (r, t) = e () c(t), (2.9) где d плотность массы используемого материала.

Уравнение для тензора S можно получить, подействовав на уравнение равновесия (2.9) линейным оператором H0 (r) и продифференцировав ре зультат по времени t. Здесь важным является то обстоятельство, что в общем случае интегральный оператор H0 (r) и оператор дивергенции не являются перестановочными, поскольку нижний предел интеграла в (2.5) зависит от точки тела. Однако можно показать (см. § 0.5), что для рассматриваемых процессов (см. § 2.1) достаточным условием коммута ции указанных операторов по отношению к тензору напряжений являет ся незагружение будущей поверхности роста до начала наращивания и в паузах между его этапами, а также отсутствие напряжения на фактиче ской поверхности роста во время самих этапов. В этом случае при t t 1 в области, занятой в данный момент времени наращиваемым телом, вы полняется тождество ( · T) = · T и, следовательно, справедливы аналоги уравнения равновесия в форме

–  –  –

(здесь формально считается t2N +1 = +) и являющееся одним из условий выполнения уравнений (2.10).

Как видим, в силу определения функции x(t) (см. § 2.1) условие на не сцепленной с оправкой поверхности слоя в форме (2.18) формально остается справедливым и вне интервалов непрерывного наращивания и может использоваться для любого t t1. Однако следует подчеркнуть, что на интервалах роста и на этапах после временного или окончатель ного его прекращения природа этого условия принципиально различна.

Что касается условия на неподвижной в выбранных осях поверхности наращиваемого слоя поверхности его сопряжения с жесткой оправкой, то здесь на протяжении всего процесса деформирования остается спра ведливым классическое условие отсутствия перемещения, очевидным об разом модифицируемое для скоростной постановки задачи:

v = 0, = x0.

Итак, деформирование слоя после начала процесса его кусочно-непрерывного наращивания описывается следующей краевой задачей:

· S + e (, t) = 0, x0, x(t), t t1 ;

S = 2 D + ( 1) 1 tr D, D = ( vT + v)/2; (2.20) v = 0, = x0 ; e · S = e q(t), = x(t).

В ней время t не является, очевидно, существенной переменной, а лишь выполняет роль вещественного параметра. Причем для каждого значе ния этого параметра формально имеем классическую задачу линейной теории упругости для цилиндрического слоя фиксированной толщины.

Слой находится под действием объемных сил, величина которых зависит от радиальной координаты, жестко закреплен по одной из своих боковых поверхностей и нагружен по другой некоторыми распределенными сила ми. В этой задаче на месте вектора перемещения, тензора деформации и отнесенного к модулю сдвига тензора напряжений выступают соответ ственно вектор скорости v, тензор скорости деформации D и введенный выше тензор S.

После решения задачи (2.20) необходимо в каждой точке r наращива емого слоя восстановить временню эволюцию тензора T по найденной у скорости его изменения S, используя в качестве начального условия со отношение (2.17):

t T(r) T (r, t) = + S(r, ) d, t (). (2.21) G () ()

ГЛАВА 2. ФОРМИРОВАНИЕ СЛОЯ НА ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ОПРАВКЕ

После этого на основании определения тензора T сможем найти полную эволюцию тензора напряжений по формуле

–  –  –

с параметром r относительно неизвестной функции времени T(r, t)/G(t).

Если аналитическое выражение для резольвенты R(t, ) неизвестно или является слишком громоздким, данное уравнение может быть решено численно, например, методом квадратур на базе формулы трапеций [73].

2.3 Решение краевой задачи В рассматриваемом случае плоской деформации из характера прису щей поставленной задаче (2.20) симметрии вытекает, что поле скоростей в занимаемой растущим слоем области должно иметь следующий вид:

v = e v(, t). Отсюда следует, что

–  –  –

Видно, что напряженное состояние упругого слоя, наращиваемого на вращающейся с постоянной угловой скоростью жесткой оправке, как и следовало ожидать, не зависит явно от времени t и определяется только текущим значением радиуса x(t) поверхности роста слоя и распределе нием в последнем начальных напряжений ().

2.5 Остаточные напряжения в изготовленном слое В §§ 2.2, 2.3 построено решение задачи о деформировании вязкоупру гого стареющего слоя, формируемого методом наращивания на вращаю щейся жесткой оправке при некоторых заданных программах изменения радиуса свободной поверхности x(t), натяжения элементарных слоев при соединяемого материала () и вращения оправки (t), на временном луче t (t1, +). Пусть это решение дается известными функциями T(r, t), x0, x(t).

v(r, t), D(r, t), S(r, t), T(r, t), (2.31)

1. Остаточные напряжения после остановки вращения. Пред положим, что начиная c некоторого момента времени t = t s t2N, ко гда формирование слоя уже полностью завершено, задается программа вращения (t), отличная от той, для которой построено решение (2.31).

Положим тогда (t) (t) при t1 t ts и будем считать, что про цесс деформирования наращиваемого слоя при заданной таким образом новой полной программе вращения (t) и прежних программах наращи вания x(t) и натяжения () описывается функциями

–  –  –

Задача (2.41) представляет собой, как видим, классическую краевую задачу линейной теории вязкоупругости для слоя окончательных раз меров (по отношению к слою в рассматриваемой задаче наращивания), жестко закрепленного по одной из своих боковых поверхностей и начиная с момента t = t подверженного действию переменного во времени рас пределения объемных сил. В этой задаче на месте вектора перемещения, тензора деформации и тензора напряжений фигурируют соответственно величины u, E и T. Согласно одному из принципов соответствия в ли нейной теории вязкоупругости стареющих тел [28] тензор T, представ ляющий решение задачи (2.41), в каждый момент времени t t может быть найден из решения соответствующей упруго-мгновенной задачи.

Таким образом, вспоминая смысл этого тензора и определение функции c (t), можем сделать следующий вывод (в его формулировке тензоры T r и T есть не что иное как пределы при t + изначально введенных в этом параграфе тензорных функций T и T соответственно).

ГЛАВА 2. ФОРМИРОВАНИЕ СЛОЯ НА ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ОПРАВКЕ

–  –  –

где первое слагаемое в правой части есть финальный тензор напряже ний, отвечающий решению (2.31) исходной задачи наращивания вязко упругого стареющего слоя для закона (t), не предполагающего оста новку вращения, а тензор дополнительных напряжений T (r) есть взятый с обратным знаком тензор напряжений в соответствующем ненаращиваемом упругом полом цилиндре, вращающемся с угловой ско ростью, одна из боковых поверхностей которого сцеплена с жест кой втулкой, а другая свободна. Тензор T (r) находится из классиче ской задачи теории упругости · T e c = 0, (x0, xN );

T = G 2 E + ( 1) 1 tr E, E = ( uT + u )/2; (2.43) u = 0, = x0 ; e · T = 0, = xN, в которой c = d, а G = lim t+ G(t) модуль сдвига рассмат риваемого вязкоупругого материала в его весьма большом возрасте.

Нетрудно заметить, что задача (2.20), описывающая процесс дефор мирования слоя после начала его кусочно-непрерывного наращивания, в точности переходит в краевую задачу (2.43) при замене (знаком всюду ниже будем обозначать словосочетание заменить на )

–  –  –

Заметим, что содержащий две произвольные постоянные общий вид распределений перемещений, а также радиальных и окружных напря жений во вращающемся упругом цилиндре для рассматриваемого здесь случая плоской деформации можно сразу получить, например, из при веденных в [77] выражений, соответствующих общему решению задачи об обобщенном плоском напряженном состоянии вращающегося тонкого диска, путем замены в последних коэффициента Пуассона на отноше ние /(1 ) = ( 1)/( + 1) [35]. После этого для получения,() останется только удовлетворить необходимым граничным условиям.

2. Остаточные напряжения в слое после остановки его вра щения и отсоединения от оправки. Предположим теперь, что в мо мент времени t = ts помимо программы вращения (см. п. 1 настоящего параграфа) изменяется также и граничное условие на поверхности слоя, сцепленной в процессе наращивания с жесткой оправкой.

Поскольку решение (2.31) исходно поставленной задачи наращивания известно для любого сколь угодно отдаленного момента времени t, то из вестна и соответствующая этому решению зависимость от времени кон тактного давления на поверхности оправки = x 0, то есть функция

–  –  –

Будем считать, что начиная с момента t = ts принудительно задается некоторый другой по отношению к p(t) закон изменения давления на боковой поверхности слоя = x0 функция p(t), которую продолжим на весь рассматриваемый в задаче временной луч, положив

–  –  –

Завершая данный параграф, отметим два принципиальных момента.

Во-первых, стоит указать на то обстоятельство, что утверждения 2.1 и

2.2 являются прямым следствием физической и геометрической линейно сти поставленной задачи наращивания. Во-вторых, анализируя ход рас суждений, приводящих к формулировке данных утверждений, нетруд но заметить, что эти рассуждения имеют достаточно общий характер и могут быть положены в основу доказательств общих теорем о струк туре остаточного напряженного состояния произвольных тел, подчинен ных линейным соотношениям и наращиваемых в различных условиях закрепления и нагружения. Однако такого рода всестороннее обобщение не укладывается в рамки настоящей работы.

2.6 Модельные задачи В рамках построенной общей модели процессов изготовления цилин дрических тел на вращающейся оправке рассмотрим две частные задачи, имеющие, несомненно, важное прикладное значение.

Для аппроксимации меры ползучести вязкоупругого материала вос пользуемся зависимостью [4] (t, ) = A( ) 1 e(t ), где A( ) так называемая функция старения, 0 множитель, за дающий масштаб времени. Аппроксимирующие выражения для модуля

2.6. Модельные задачи 103 сдвига и функции старения возьмем в виде (см. § 0.4) G(t) = G 1 G et, A( ) = A + A e.

В расчетах будем принимать = 0.35; = 3/5, G = 0.3, = 4/105, A G = 0.1808, A G = 0.4875.

Отметим, что данные константы получены для поливинилхлорида на основании экспериментальных кривых, представленных в работе [97].

Выберем следующую систему базовых безразмерных величин. Вели чины, имеющие размерность времени, для приведения к безразмерному виду умножим на. Величины, имеющие размерность длины, отнесем к неизменному радиусу наращиваемого слоя x0 (радиусу оправки), а имею щие размерность напряжения к модулю сдвига G материала в весьма большом возрасте. Все размерные физические величины, приведенные в этой системе к безразмерному виду, будем помечать чертой сверху.

Организация вычислительного процесса при решении рассматривае мых задач, а также применяемые методики контроля точности вычисле ний и проверки получаемых результатов описаны в приложении Б.

1. Задача о силовой намотке. Изучим процесс послойной силовой намотки вязкоупругого стареющего материала на жесткую цилиндри ческую оправку, вращающуюся вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью 0 (см. фиг. 2.1, a).

Рассмотрим сначала случай непрерывной намотки (то есть процесс на ращивания с одним этапом непрерывного роста, N = 1). Для простоты ограничимся линейным законом x(t) изменения во времени внешнего ра диуса слоя. Положим x1 = 5, t1 = 0.3, t2 = 4.3. Зависимость напряжения натяга монослоев от их радиуса зададим функцией () = 0.9.

На фиг. 2.2 и 2.3 представлены зависимости характеристик напряжен ного состояния наматываемого слоя (безразмерных компонент тензора напряжений,, z в цилиндрической системе координат и интенсив ности касательных напряжений T ) от безразмерной радиальной коор динаты. Тонкими сплошными линиями показана эволюция распреде лений этих характеристик в процессе непрерывного роста слоя. Сплош ная толстая линия изображает распределение каждой характеристики, устанавливающееся после прекращения наращивания в продолжающем вращаться слое. Штриховая линия соответствует распределениям ис следуемых характеристик во вращающемся вязкоупругом слое оконча тельной толщины, найденным из классической задачи линейной теории

ГЛАВА 2. ФОРМИРОВАНИЕ СЛОЯ НА ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ОПРАВКЕ

–  –  –

Фиг. 2.4. Остаточное напряженное состояние намотанного слоя, найденное с учетом (толстые линии) и без учета (тонкие линии) действия центробежных сил: кривые взяты с фиг. 2.2 и 2.3.

ГЛАВА 2. ФОРМИРОВАНИЕ СЛОЯ НА ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ОПРАВКЕ

вязкоупругости без учета механических особенностей процесса изготов ления этого слоя. Пунктирной линией изображены эпюры финальных остаточных напряжений и отвечающей им интенсивности касательных напряжений в готовом слое после остановки вращения оправки. Штрих пунктирной линией показаны эпюры финальных остаточных напряже ний и соответствующей интенсивности касательных напряжений после остановки вращения и последующего отсоединения от оправки цилин дрического тела, изготовленного в процессе намотки.



Pages:   || 2 | 3 |
Похожие работы:

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" Институт: Институт природных ресурсов Направление: Нефтегазовое д...»

«Технический проспект Плата интерфейса Profibus DP Октябрь 2003 TM Плата интерфейса Profibus DP Платы интерфейса Profibus DP обеспечивают подключение к DeltaV дискретных исполнительных устройств и сенсоров. Свобода выбора подходящей шины для каПреимущества ждого приложения. Свобода выбора подходящей шины для каждого приПоддержка станд...»

«Департамент образования города Москвы Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение города Москвы "Колледж градостроительства, транспорта и технологий № 41" (ГБПОУ КГТиТ № 41) Центр дополнительного образования и творческого развития детей и подрост...»

«ТЕРЕМЕЦКИЙ Максим Юрьевич СНИЖЕНИЕ ПОТЕРЬ И ПОВЫШЕНИЕ КАЧЕСТВА ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ В СЕЛЬСКИХ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫХ СЕТЯХ 0,38 кВ ПРИ НЕСИММЕТРИЧНОЙ НАГРУЗКЕ С ПОМОЩЬЮ ТРАНСФОРМАТОРА "ЗВЕЗДА – ЗВЕЗДА С НУЛЁМ С СИММЕТРИРУЮЩИМ УСТРОЙСТВОМ" Специальность 05.20.02 – Электротехнологии и электрооборудование в сельском хозяйстве АВТОРЕФЕР...»

«База нормативной документации: www.complexdoc.ru ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР КАБЕЛИ СИЛОВЫЕ С ПЛАСТМАССОВОЙ ИЗОЛЯЦИЕЙ ТЕХНИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ГОСТ 16442-80 (с изменениями от 04 февраля 1982 г.,...»

«ГОСТ 30515-97 МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ ЦЕМЕНТЫ Общие технические условия Издание официальное МЕЖГОСУДАРСТВЕННАЯ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ КОМИССИЯ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ, ТЕХНИЧЕСК...»

«Программа вступительного испытания по профилю подготовки "Трение и износ в машинах" составлена согласно паспорту научной специальности 05.02.04 "Трение и износ в машинах". В программе учитываются указа...»

«Краткая хорактеристика РАДИЙ Каслинский радиозавод Акционерное общество "РАДИЙ" одно из ведущих российских предприятий, входящих в состав концерна КРЭТ, специализирующихся на разработке и производстве радиоэлектронной аппаратуры О компании: краткая характеристика различного назначения: технических ср...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИ...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Пензенский государственный университет архитектуры и строительства" УТВЕРЖДАЮ Декан архитектурного факультета Соколова Н.В. "_"_ 2015г. РАБОЧА...»

«МИРОВЫЕ ИННОВАЦИОННЫЕ ПРОРЫВЫ Часть 1 Сборник статей по материалам международной научно-практической конференции 31 мая 2017 г. г. Санкт-Петербург УДК 001.1 ББК 94.3 Ответственный редактор: Копылова Е.Ю.Редакционная коллегия сборника: Конюхов В.Ю., кандидат технических наук, профес...»

«Проблема НЕФТЕГАЗОНОСНОСТИ Средней Азии 8 Ы0 УС К t/ ос ж0шт е 4 и;4 а т J МИНИСТЕРСТВО ГЕОЛОГИИ И ОХРАНЫ НЕДР СССР ТРУДЫ ВСЕСОЮЗНОГО НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ГЕОЛОГИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА (ВСЕГЕИ) Новая серия Том 50 ПРОБЛЕМА НЕФТЕГАЗОНОСНОСТИ СРЕДНЕЙ АЗИИ. ВЫПУСК 7 Н. Н. БОБКОВА...»

«Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2010. Т. 10. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1 Образец цитирования: Ахмедова Э.Н., Гусейнов И.М. Об одной обратной задаче для оператора Штурма – Лиувилля c разрывными коэффициентами // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика....»

«Физика твердого тела, 2013, том 55, вып. 5 13,03 Электропроводность и зонная структура тонких поликристаллических пленок EuS © В.В. Каминский, Н.Н. Степанов, М.М. Казанин, А.А. Молоды...»

«ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2000. Т. 41, N3 163 УДК 539.4 ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ С. В. Сукнв е Институт физико-технических проблем Севера СО РАН, 677891 Якутск Оценивается прочность пластины с эллиптическим отверстием,...»

«Применение речевого диалога при управлении техническими средствами. Автор: Ясенков Ярослав Геннадьевич лицей №1580 при МГТУ им.Н.Э.Баумана, класс 11-3. Научный руководитель: Жигулёвцев Юрий Николаевич МГТУ им. Н.Э.Бауман...»

«Научно-исследовательский центр проблем ресурсосбережения НАН Беларуси Белостокский технический университет Учреждение образования "Гродненский государственный медицинский университет" Учреждение образования "Гродненский государственный...»

«Рек. МСЭ-R RS.1165-2 1 РЕКОМЕНДАЦИЯ МСЭ-R RS.1165-2 Технические характеристики и критерии эффективности функционирования для систем во вспомогательной службе метеорологии в полосах частот 403 МГц и 1680 МГц (1995-1997-2006) Сфера применения В данной Рекомендации даны технические характеристики и кри...»

«База нормативной документации: www.complexdoc.ru Акционерное общество по разработке и совершенствованию технологии строительства сооружений связи ОАО ССКТБ-ТОМАСС СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ Начальник Управления Заместитель председателя электрос...»

«СВЯЗЬПРИБОР Х-410 МАСТЕР Отборник кабеля РУКОВОДСТВО ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ v 1.0 ОГЛАВЛЕНИЕ 1 НАЗНАЧЕНИЕ _ 4 2 ВВЕДЕНИЕ 4 3 БЕЗОПАСНОСТЬ_ 5 4 УСЛОВИЯ ЭКСПЛУАТАЦИИ 5 5 ТЕХНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ _ 6 6 СОСТАВ ИЗДЕЛИЯ И КОМПЛЕКТ ПО...»

«Q1-1 Theory Estonian Russian (Estonia) Две задачи по механике (10 баллов) Прежде, чем приступить к решению задачи, пожалуйста прочитайте инструкцию, находящуюся в отдельном конверте. Часть A. Спрятанный диск (3,5 балла) Расмотрим твердый деревянный цилиндр радиуса 1 и толщиной 1. Где-то внутри деревянного цилиндра древесин...»

«паровая швабра КТ-1001 ИНСТРУКЦИЯ ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ Содержание Правила техники безопасности Устройства паровой швабры Сборка паровой швабры Эксплуатация паровой швабры Общие советы по отпариванию Уход и хранение Устранение неисп...»

«UA0100176 НАЦИОНАЛЬНЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР ХАРЬКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ХФТИ 99-1. СВЧ-ТЕРМООЕРАБСЭТКИ НА СПЛАВА Zr"2,5%Mb ПРЕПРИНТ ХАРЬКОВ УДК 621.039 А.И.СТУКАЛОВ, В.М.ГРИЦИНА, Т.ПЛЕРНЯЕВА, В.Н.ВОЕВОДИН, Л.С.ОЖИГОВ, Н.И.РАГУЛИНА, В.И.САВЧЕНКО, Д.Г.МАЛЫХИН ВОЗДЕЙСТВИЕ СВЧ-ТЕРМООБРАБОТКИ НА СТРУКТУРНО-ФАЗО...»

«Руководство по эксплуатации Электронагревателя пласт.корпус (9 кВт) с датчиком потока Pahlen (141602-01) Настоящее Руководство по эксплуатации (далее по тексту РЭ) предназначено для ознакомления обслуживающего персонала с изделием, принципом действия, конструкцией, условиями монтажа, работой и техническ...»

«УДК 94:39(571.6) МОДЕРНИЗАЦИЯ ТРАДИЦИОННОГО УКЛАДА И БЫТА КОРЕННЫХ МАЛОЧИСЛЕННЫХ ЭТНОСОВ СЕЛА КОНДОН В XX – НАЧАЛЕ XXI ВВ. Дементьева Виктория Владимировна Ахметова Анна Валинуровна ФГБОУ ВО "Комсомольский-на-Амуре госуд...»

«Учредитель: Федеральное государственное бюдФизические жетное учреждение науки Научно-технологический центр уникального приборостроения Российской академии наук Основы Издатель: Федеральное госу...»

«1 ОПОП рассмотрен(о) и одобрен(о) на заседании Методической комиссии _ Протокол № от _ Председатель МК: _ Программа профессионального модуля разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта по профессии начального профессионального образования (далее...»

«С.Д. Казнов, С.С. Казнов ВЕРТИКАЛЬНАЯ ПЛАНИРОВКА ГОРОДСКИХ ТЕРРИТОРИЙ (сборник тестов, упражнений и задач) Учебное пособие Нижний Новгород 2013 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Нижегородск...»

«НИЖНЕШАЙТАНСКИЙ ЗАВОД Общая схема Точная схема Нижнешайтанский (Васильево-Шайтанский, Шайтанский Нижний) чугуноплавильный и железоделательный завод, один из старейших металлургических заводов Среднего Урала, до 1917...»

«Структура программы учебного предмета I. Пояснительная записка 1. Характеристика учебного предмета, его место и роль в образовательном процессе.2. Срок реализации учебного предмета.3. Объем учебного времени, предусмотренный учебным планом на реал...»








 
2017 www.kniga.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.